Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: integral cos ^3(x) d x.

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: calcular a integral de em relação a . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição e identidades trigonométricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3(x) = cos^2(x) cdot cos(x) de uma forma que facilite a integração. Podemos separar um fator de e escrever:

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica importante que relaciona cos^2(x) = 1 - sin^2(x) com cos^3(x) = (1 - sin^2(x)) cdot cos(x) :
Substituindo na expressão anterior:

Passo 4

Com essa forma, podemos usar a técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin(x)
Então, a derivada de du = cos(x) , dx em relação a é:

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integral cos^3(x) , dx = integral (1 - u^2) , du
Essa integral é mais simples e pode ser resolvida termo a termo:
integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u - u^33 + C = sin(x) - sin^3(x)3 + C :

Resposta

A integral de integral cos^3(x) , dx = sin(x) - sin^3(x)3 + C é:

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