Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que , para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a integral de em relação a pode ser expressa de uma forma específica. Isso envolve cálculo de integrais com potências de funções trigonométricas, mais especificamente a função secante elevada a uma potência . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos um produto de duas funções e queremos integrar essa combinação. A fórmula é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
Por que essa escolha? Porque ao derivar , vamos reduzir a potência da secante, o que é útil para relacionar a integral original com uma de potência menor.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Integrando para achar :
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
Sabemos que , então substituímos:
Reorganizando os termos:

Resposta

Mostramos que
para e .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.