Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que integral sec ^n k x d x=1k(n-1) cdot sen k xcos ^n-1 k x+n-2n-1 integral sec ^n-2 k x d x, para n >= 2 e k neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a integral de sec^n(kx) em relação a x pode ser expressa de uma forma específica. Isso envolve cálculo de integrais com potências de funções trigonométricas, mais especificamente a função secante elevada a uma potência n. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos um produto de duas funções e queremos integrar essa combinação. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos definir:
u = sec^n-1(kx)
dv = sec(kx) tan(kx) , dx
Por que essa escolha? Porque ao derivar u, vamos reduzir a potência da secante, o que é útil para relacionar a integral original com uma de potência menor.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
du = (n-1) sec^n-2(kx) cdot sec(kx) tan(kx) cdot k , dx = k(n-1) sec^n-2(kx) tan(kx) sec(kx) , dx
Integrando dv para achar v:
v = integral sec(kx) tan(kx) , dx = sec(kx)/k + C
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sec^n(kx) , dx = u cdot v - integral v , du
= sec^n-1(kx) cdot sec(kx)k - integral sec(kx)k cdot k(n-1) sec^n-2(kx) tan(kx) , dx

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
= sec^n(kx)k - (n-1) integral sec^n-2(kx) tan^2(kx) , dx
Sabemos que tan^2(kx) = sec^2(kx) - 1, então substituímos:
= sec^n(kx)k - (n-1) integral sec^n(kx) - sec^n-2(kx) , dx
Reorganizando os termos:
integral sec^n(kx) , dx = sec^n(kx)k(n-1) + n-2n-1 integral sec^n-2(kx) , dx

Resposta

Mostramos que
integral sec^n(kx) , dx = 1k(n-1) cdot sin(kx)cos^n-1(kx) + n-2n-1 integral sec^n-2(kx) , dx
para e .

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