Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUÇÃã
Mostre que
, para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a integral de
em relação a
pode ser expressa de uma forma específica. Isso envolve cálculo de integrais com potências de funções trigonométricas, mais especificamente a função secante elevada a uma potência
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos um produto de duas funções e queremos integrar essa combinação. A fórmula é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos definir:
Por que essa escolha? Porque ao derivar
, vamos reduzir a potência da secante, o que é útil para relacionar a integral original com uma de potência menor.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Integrando
para achar
:
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Sabemos que
, então substituímos:
Reorganizando os termos:
Resposta
Mostramos que
para
e
.
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