Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral d tt^4 raiz4-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões como . Para isso, precisamos identificar qual substituição trigonométrica se encaixa melhor e seguir os passos certinhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: t = 2 sin theta . Note que isso se parece com a identidade trigonométrica , onde e . Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica:
Essa substituição nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos achar dt = 2 cos theta , dtheta em termos de . Derivando em relação a :
Então, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral dtt^4 raiz4 - t^2 = integral 2 cos theta , dtheta(2 sin theta)^4 raiz4 - (2 sin theta)^2
Vamos simplificar cada parte:
  • integral 2 cos theta , dtheta16 sin^4 theta cdot 2 cos theta
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os termos:
2 cos theta16 sin^4 theta cdot 2 cos theta = 216 sin^4 theta cdot 2 = 116 sin^4 theta
Então, a integral fica:
integral 116 sin^4 theta , dtheta = 116 integral csc^4 theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos resolver csc^4 theta = csc^2 theta cdot csc^2 theta . Sabemos que:
csc^4 theta = (1 + cot^2 theta) csc^2 theta
E usamos a identidade 116 integral (1 + cot^2 theta) csc^2 theta , dtheta :
Assim, a integral se torna:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
116 ( integral csc^2 theta , dtheta + integral cot^2 theta csc^2 theta , dtheta )
Sabemos que:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C
E para -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cot^3 theta3 + C , fazemos uma substituição:
Seja 116 ( -cot theta - cot^3 theta3 ) + C , então . A integral fica:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original sin theta = t2 Rightarrow theta = arcsin(t2) . Lembrando que fizemos cot theta = cos thetasin theta = raiz1 - sin^2 thetasin theta = raiz1 - (t2)^2t2 = raiz4 - t^2t , então:
-116 cot theta - 148 cot^3 theta = -116 cdot raiz4 - t^2t - 148 (raiz4 - t^2t)^3
E usando identidades trigonométricas para expressar em termos de :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral -raiz4 - t^216 t - (4 - t^2)^3/248 t^3 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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