Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões como
. Para isso, precisamos identificar qual substituição trigonométrica se encaixa melhor e seguir os passos certinhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Note que isso se parece com a identidade trigonométrica
, onde
e
. Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica:
Essa substituição nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos achar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Então, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Vamos simplificar cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
. Sabemos que:
E usamos a identidade
:
Assim, a integral se torna:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
E para
, fazemos uma substituição:
Seja
, então
. A integral fica:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
E usando identidades trigonométricas para expressar
em termos de
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUÇÃã
Mostre que
, para
e
.
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: