Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões como . Para isso, precisamos identificar qual substituição trigonométrica se encaixa melhor e seguir os passos certinhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Note que isso se parece com a identidade trigonométrica , onde e . Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica:
Essa substituição nos ajuda a simplificar a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos achar em termos de . Derivando em relação a :
Então, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Vamos simplificar cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, precisamos resolver . Sabemos que:
E usamos a identidade :
Assim, a integral se torna:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
E para , fazemos uma substituição:
Seja , então . A integral fica:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que fizemos , então:
E usando identidades trigonométricas para expressar em termos de :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que , para e .
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: