Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a)
.
a)
Passo 1
Então, a gente tem aqui um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
a primeira derivada.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos
por
, onde
é uma constante a ser determinada:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Então,
Os valores de
são:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Aplicando
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema. Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: