Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) 2 d^2y/dx^2 + 5 dy/dx + 3y = 0, y(0) = 3, dy/dx(0) = -4.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é com as condições iniciais e . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e a primeira derivada.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos por , onde é uma constante a ser determinada:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então,
Os valores de são:

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Simplificando:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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