Sejam e constantes reais. Mostre que e são soluções linearmente independentes da equação quando .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , e queremos mostrar que elas são soluções linearmente independentes da equação diferencial , desde que . Para isso, vamos precisar entender sobre soluções de equações diferenciais e o conceito de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e são realmente soluções da equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas dessas funções e substituí-las na equação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de :
Agora substituímos na equação diferencial:
Fatorando :
Isso confirma que é solução.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando :
Isso confirma que também é solução.
Passo 5
Agora que sabemos que ambas as funções são soluções da equação, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta para verificar a independência linear de soluções.
O Wronskiano de e é dado por:
Calculando:
Passo 6
Para que as soluções sejam linearmente independentes, o Wronskiano não pode ser zero. Observamos que nunca é zero para qualquer . Então, o Wronskiano será zero somente se .
Passo 7
Mas a condição dada na questão é que . Isso significa que , logo, o Wronskiano não é zero. Portanto, e são soluções linearmente independentes da equação diferencial.
Resposta
As funções e são soluções linearmente independentes da equação quando .