Sejam e constantes reais. Mostre que e são soluções linearmente independentes da equação quando .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , e queremos mostrar que elas são soluções linearmente independentes da equação diferencial , desde que . Para isso, vamos precisar entender sobre soluções de equações diferenciais e o conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se e são realmente soluções da equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas dessas funções e substituí-las na equação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Agora substituímos na equação diferencial:
Fatorando :
Isso confirma que é solução.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando :
Isso confirma que também é solução.

Passo 5

Agora que sabemos que ambas as funções são soluções da equação, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta para verificar a independência linear de soluções.
O Wronskiano de e é dado por:
Calculando:

Passo 6

Para que as soluções sejam linearmente independentes, o Wronskiano não pode ser zero. Observamos que nunca é zero para qualquer . Então, o Wronskiano será zero somente se .

Passo 7

Mas a condição dada na questão é que . Isso significa que , logo, o Wronskiano não é zero. Portanto, e são soluções linearmente independentes da equação diferencial.

Resposta

As funções e são soluções linearmente independentes da equação quando .

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Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) .
Se para todo , então e igual a

CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO

Em relação aos intervalos de crescimento e decrescimento da função , podemos afirmar que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
  • Crescente para
  • Decrescente para
  • Decrescente para
  • Decrescente para
  • Crescente para