Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
c) Se e w não são nulos, então é é LD.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores não nulos , e . A afirmação diz que se o conjunto é linearmente dependente (LD), então o conjunto também é linearmente dependente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente.
Passo 2
Primeiro, o que é um conjunto de vetores linearmente dependente? Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns coeficientes não nulos multiplicados pelos vetores somam o vetor zero.
Passo 3
Sabemos que é LD, então pelo menos um desses vetores pode ser escrito como combinação dos outros. Mas será que isso implica que também é LD?
Passo 4
Vamos analisar . Para este conjunto ser LD, deve existir uma relação onde , com e não ambos nulos. Isso significa que .
Passo 5
A existência de tal relação depende de e serem colineares, ou seja, um ser múltiplo do outro. No entanto, o fato de ser LD não garante que e sejam colineares. É possível que seja o vetor dependente, mantendo e independentes.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que ser LD implica que também seja LD nem sempre é verdadeira.