Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
c) Se u, v e w não são nulos, então u, v, w é LD Rightarrow2 u,-v é LD.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores não nulos u, v e w. A afirmação diz que se o conjunto u, v, w é linearmente dependente (LD), então o conjunto 2u, -v também é linearmente dependente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente.

Passo 2

Primeiro, o que é um conjunto de vetores linearmente dependente? Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns coeficientes não nulos multiplicados pelos vetores somam o vetor zero.

Passo 3

Sabemos que u, v, w é LD, então pelo menos um desses vetores pode ser escrito como combinação dos outros. Mas será que isso implica que 2u, -v também é LD?

Passo 4

Vamos analisar 2u, -v. Para este conjunto ser LD, deve existir uma relação onde a(2u) + b(-v) = 0, com a e b não ambos nulos. Isso significa que 2au - bv = 0.

Passo 5

A existência de tal relação depende de u e v serem colineares, ou seja, um ser múltiplo do outro. No entanto, o fato de u, v, w ser LD não garante que u e v sejam colineares. É possível que w seja o vetor dependente, mantendo u e v independentes.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que u, v, w ser LD implica que 2u, -v também seja LD nem sempre é verdadeira.

Resposta

Falso.

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