Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações diferenciais ordinárias (EDOs):
O conteúdo envolvido aqui é de sistemas de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver esse sistema, vamos reduzi-lo a uma única EDO de terceira ordem e, depois, usar a transformada de Laplace para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, precisamos reduzir o sistema a uma única equação diferencial. Vamos começar expressando e em termos de e suas derivadas.
Sabemos que:
Agora, vamos derivar em relação a :
Mas também sabemos que:
Igualando as duas expressões para :
Agora, vamos derivar :
Também temos que:
Substituindo e nas duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma EDO de terceira ordem:
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar as frações:
Simplificando os termos semelhantes:
Então, temos a EDO característica:
Passo 4
Para resolver essa EDO, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores inteiros, encontramos que é uma raiz:
Agora, fatoramos da equação cúbica:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas na questão).
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar e usando as relações que estabelecemos anteriormente.
Lembramos que:
Calculando :
Então:
Passo 7
Para encontrar , usamos a relação:
Primeiro, calculamos :
Então:
Simplificando:
Resposta
As soluções para o sistema de EDOs são:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.