Seja y = f(x) uma função derivável que satisfaz a equação x^3 + 2xy + y^2 = 4. Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é derivável e satisfaz a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada e derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como a equação envolve tanto quanto , vamos usar a derivação implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a , lembrando que é uma função de .
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (usamos a regra do produto).
  • Derivada de em relação a é .
Então, derivando a equação inteira:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor da derivada no ponto . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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