Seja
uma função derivável que satisfaz a equação
. Ache a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é derivável e satisfaz a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada e derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a equação envolve tanto
quanto
, vamos usar a derivação implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usamos a regra do produto). - Derivada de
em relação a é .
Então, derivando a equação inteira:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor da derivada no ponto
. Substituindo
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
- Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).
Usando que
para
, calcule:
Calcule:
Encontre a derivada da função: