Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Vamos resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) composto por:
Para resolver este sistema, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais de diferentes ordens e encontrar relações entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na primeira equação:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de em termos de .

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar :

Passo 4

Substituímos na segunda equação do sistema:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir essa expressão na equação que encontramos para :

Passo 6

Simplificando a equação:

Passo 7

A equação resultante é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes de integração.

Passo 8

Agora, usando , vamos derivar :
Portanto:

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
Onde e são constantes arbitrárias.

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e .
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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
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sent e , com .