Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Vamos resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) composto por:
Para resolver este sistema, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais de diferentes ordens e encontrar relações entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na primeira equação:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
na segunda equação do sistema:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir essa expressão na equação que encontramos para
:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
A equação resultante
é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 8
Agora, usando
, vamos derivar
:
Portanto:
Resposta
As soluções gerais do sistema são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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e
, com
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sent e
, com
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