Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações envolvendo as funções
e
, e precisamos achar essas funções sabendo que
e
. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em sistemas de equações e resolver para as transformadas das funções desconhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de
é
e a de
é
. Como
, isso simplifica as coisas.
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para a segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de
e
. Vamos reescrever as duas equações:
-
Podemos juntar os termos com:
-
Juntando os termos:
Passo 5
Agora, temos o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Passo 6
Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por
para simplificar:
Agora, temos:
Passo 7
Podemos resolver para
na segunda equação:
Agora, vamos substituir
na primeira equação:
Passo 8
Vamos distribuir o
na equação:
Agora, combinamos os termos com
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão para
:
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
.
Passo 11
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Simplificando:
Passo 12
Agora, voltamos para encontrar
. Lembrando que:
Substituindo
:
Passo 13
Vamos simplificar a expressão para
:
Passo 14
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
As soluções do sistema são:
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Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
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e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e
, com
.
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e
, com
e
.