Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações envolvendo as funções e , e precisamos achar essas funções sabendo que e . Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em sistemas de equações e resolver para as transformadas das funções desconhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de é e a de é . Como , isso simplifica as coisas.
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de e . Vamos reescrever as duas equações:

  1. Podemos juntar os termos com :

  2. Juntando os termos:

Passo 5

Agora, temos o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por para simplificar:
Agora, temos:

Passo 7

Podemos resolver para na segunda equação:
Agora, vamos substituir na primeira equação:

Passo 8

Vamos distribuir o na equação:
Agora, combinamos os termos com :
Simplificando:

Passo 9

Agora, isolamos :

Passo 10

Vamos simplificar a expressão para :
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar .

Passo 11

Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Simplificando:

Passo 12

Agora, voltamos para encontrar . Lembrando que:
Substituindo :

Passo 13

Vamos simplificar a expressão para :

Passo 14

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar :
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:

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Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
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e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .