Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
e
. Quem é a solução geral ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. As equações são:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer a transformada de Laplace e como aplicá-la em sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, e de
é
. Aplicando isso:
Para a primeira equação:
Como
, fica:
Passo 3
Para a segunda equação:
Sabendo que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos organizar as equações obtidas:
-
→ → -
Substituindo
da primeira na segunda:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Agora, fatorando o denominador:
Então,
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então,
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Passo 8
Com
encontrado, usamos a relação
:
Simplificando:
Passo 9
Aplicando a transformada inversa de Laplace para
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
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e
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e
, com
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