Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e e . Quem é a solução geral ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. As equações são:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer a transformada de Laplace e como aplicá-la em sistemas de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de Laplace de é , e de é . Aplicando isso:
Para a primeira equação:
Como , fica:

Passo 3

Para a segunda equação:
Sabendo que , temos:

Passo 4

Agora, vamos organizar as equações obtidas:
Substituindo da primeira na segunda:

Passo 5

Vamos resolver para :
Agora, fatorando o denominador:
Então,

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então,

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :

Passo 8

Com encontrado, usamos a relação :
Simplificando:

Passo 9

Aplicando a transformada inversa de Laplace para :

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados

Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
. Resp. e .