Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: e , com .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e queremos resolver usando a Transformada de Laplace. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-la a sistemas de EDOs. Vamos resolver as equações passo a passo para encontrar as funções e que satisfazem as condições iniciais dadas.
Passo 2
Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a Transformada de Laplace de .
Primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Como :
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Transformando:
Com :
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de e :
Podemos representar isso em forma de matriz:
[
]
Passo 5
Para resolver o sistema, encontraremos o determinante da matriz dos coeficientes:
Então, .
Passo 6
Agora, usando a regra de Cramer, encontramos e :
Onde e são os determinantes substituindo as colunas correspondentes pela coluna dos termos independentes.
Calculando :
Então, .
Calculando :
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos e na expressão de e :
Podemos fatorar o denominador , então:
Passo 8
Agora, vamos simplificar as expressões e realizar a decomposição em frações parciais para inverter a Transformada de Laplace.
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para , , e :
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Então:
Passo 9
Agora, para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para , , e :
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Então:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar e :