Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e queremos resolver usando a Transformada de Laplace. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-la a sistemas de EDOs. Vamos resolver as equações passo a passo para encontrar as funções e que satisfazem as condições iniciais dadas.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a Transformada de Laplace de .
Primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Como :

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Transformando:
Com :

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de e :

Podemos representar isso em forma de matriz:
[


]

Passo 5

Para resolver o sistema, encontraremos o determinante da matriz dos coeficientes:
Então, .

Passo 6

Agora, usando a regra de Cramer, encontramos e :
Onde e são os determinantes substituindo as colunas correspondentes pela coluna dos termos independentes.
Calculando :
Então, .
Calculando :
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão de e :
Podemos fatorar o denominador , então:

Passo 8

Agora, vamos simplificar as expressões e realizar a decomposição em frações parciais para inverter a Transformada de Laplace.
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para , , e :
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Então:

Passo 9

Agora, para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para , , e :
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Então:

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar e :
Para :
Aplicando a Transformada Inversa:
Simplificando:
Para :
Aplicando a Transformada Inversa:
Simplificando:

Resposta

As soluções das EDOs são:

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