Resolver o sistema abaixo nas incógnitas x e y, justificando em cada passagem a propriedade usada.
l 4 x-y=11 u-v 5 x+y=16 u+v

Passo 1

Vamos resolver um sistema de duas equações lineares onde as incógnitas são vetores x e y. O conteúdo que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades como a adição de equações e o método de eliminação para encontrar os valores de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que precisamos resolver:
l 4 x - y = 11 u - v 5 x + y = 16 u + v

Passo 3

Nosso objetivo é isolar uma das incógnitas para facilitar a resolução. Vamos somar as duas equações para eliminar o termo y. Isso utiliza a propriedade da adição de equações, que nos permite somar os lados das equações para simplificar o sistema.
(4 x - y) + (5 x + y) = (11 u - v) + (16 u + v)

Passo 4

Simplificando os termos, temos:
9 x = 27 u
Isso ocorre porque - y + y = 0 e 11 u + 16 u = 27 u, enquanto - v + v = 0.

Passo 5

Agora, para encontrar x, dividimos ambos os lados da equação por 9:
x = 27 u9 = 3 u

Passo 6

Com o valor de x encontrado, vamos substituir x = 3 u em uma das equações originais para encontrar y. Vamos usar a primeira equação:
4 x - y = 11 u - v
Substituindo x:
4 (3 u) - y = 11 u - v

Passo 7

Simplificando:
12 u - y = 11 u - v
Agora, isolamos y:
- y = - u - v
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = u + v

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 3,u
e
y = u + v

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