Sabendo que T: R^2 R^3 é uma transformação linear e que T(-2,-2)=(6,12,-8) e T(0,1)=(-2,-2,-1). Determine T(x, y) (2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resolver um problema de transformações lineares. A gente sabe que é uma transformação linear e tem as imagens de dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é encontrar a expressão geral para .

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como A = a & b c & d e & f vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:

Passo 3

Sabemos que x y . Então,

[
T(x, y) = T(x, y) = a & b c & d e & f x y = a x + b y c x + d y e x + f y


]

Passo 4

Vamos usar as informações dadas para encontrar os valores de -2a - 2b = 6 -2c - 2d = 12 -2e - 2f = -8 e a + b = -3 c + d = -6 e + f = 4 .
Primeiro, para :
Simplificando cada equação:

Passo 5

Agora, usemos 0a + 1b = -2 0c + 1d = -2 0e + 1f = -1 :
b = -2 d = -2 f = -1
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos substituir a + (-2) = -3 Rightarrow a = -1 c + (-2) = -6 Rightarrow c = -4 e + (-1) = 4 Rightarrow e = 5 e nas equações simplificadas do Passo 4:

Passo 7

Agora que temos todos os valores, podemos montar a matriz A = -1 & -2 -4 & -2 5 & -1 :

Passo 8

Finalmente, podemos expressar T(x, y) = -1 & -2 -4 & -2 5 & -1 x y = -1x - 2y -4x - 2y 5x - 1y usando a matriz :

[
T(x, y) =


]

Resposta

Portanto, a transformação linear T(x, y) = (-x - 2y, -4x - 2y, 5x - y) é:

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