Resolver o sistema de EDOs

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que relaciona as taxas de variação de e em relação ao tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e encontrar as soluções gerais para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs de forma mais organizada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor as relações entre as equações.

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema em forma matricial. Isso significa escrever as equações em termos de matrizes, o que facilita encontrar soluções gerais. Podemos escrever:

[
\frac{d}{dt}



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Para encontrar as soluções, precisamos determinar os autovalores da matriz . Os autovalores satisfazem a equação característica:
Calculando, temos:
Resolvendo a equação quadrática , encontramos:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada .
Para :
Resolvemos :

[


]
Uma das soluções é .
Para :
De forma semelhante:

[


]
Uma das soluções é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear das soluções exponenciais baseadas nos autovalores:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Resolver o sistema com e .
Resolver o sistema de EDOs
Resolver o sistema com e .
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .