Resolver o sistema de EDOs
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que relaciona as taxas de variação de
e
em relação ao tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e encontrar as soluções gerais para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs de forma mais organizada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor as relações entre as equações.
Passo 3
Agora, vamos representar esse sistema em forma matricial. Isso significa escrever as equações em termos de matrizes, o que facilita encontrar soluções gerais. Podemos escrever:
[
\frac{d}{dt}
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Para encontrar as soluções, precisamos determinar os autovalores da matriz
. Os autovalores
satisfazem a equação característica:
Calculando, temos:
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Uma das soluções é
.
Para
:
De forma semelhante:
[
]
Uma das soluções é
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear das soluções exponenciais baseadas nos autovalores:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolver o sistema
com
e
.
Resolver o sistema de EDOs
Resolver o sistema
com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.