Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com as condições iniciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se de que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
. Testando possíveis raízes racionais, descobrimos que
é uma raiz. Assim, podemos fatorar:
Fatorando o polinômio quadrático:
Então, o denominador completo é:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Para encontrar os coeficientes
, podemos escolher valores estratégicos para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Substituindo os valores de
na decomposição:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: