Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
2 y''' + 3 y'' - 3 y' - 2 y = e^(-t), com y(0) = 0, y'(0) = 0 e y''(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com as condições iniciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se de que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos com :
Isolando :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador . Testando possíveis raízes racionais, descobrimos que é uma raiz. Assim, podemos fatorar:
Fatorando o polinômio quadrático:
Então, o denominador completo é:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Agora, vamos decompor em frações parciais:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Para encontrar os coeficientes , podemos escolher valores estratégicos para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Substituindo os valores de na decomposição:
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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