Resolver o sistema
com
e
.
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Podemos representar o sistema como:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante:
Calculando:
Expandindo:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhemos
para simplificar, então
. Assim, o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhemos
, então
. Assim, o autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
O que resulta em:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar os valores de
e
.
Substituindo
:
Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Passo 7
Com os valores de
e
, a solução particular fica:
Resposta
A solução do sistema é:
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Resolver o sistema
com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
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