Resolver o sistema com e .

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Podemos representar o sistema como:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante:
Calculando:
Expandindo:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Escolhemos para simplificar, então . Assim, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Escolhemos , então . Assim, o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
O que resulta em:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar os valores de e .
Substituindo :
Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 7

Com os valores de e , a solução particular fica:

Resposta

A solução do sistema é:

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, com e .
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