Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar lembrar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente de como transformar derivadas e funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de uma derivada segunda é:
E para a derivada primeira:
Substituindo as condições iniciais
e
, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada na equação inteira:
Simplificando o lado esquerdo:
Precisamos agora calcular a transformada do lado direito. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação:
Para encontrar
, isolamos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão e realizar a inversa da Transformada de Laplace para encontrar
. Isso geralmente envolve decomposição em frações parciais e reconhecimento de padrões transformáveis.
Resposta
Após simplificar e aplicar a Transformada de Laplace inversa, a solução da EDO é:
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Resolver o sistema de EDOs
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com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com
e
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Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
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