Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar lembrar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente de como transformar derivadas e funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de uma derivada segunda é:
E para a derivada primeira:
Substituindo as condições iniciais e , temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada na equação inteira:
Simplificando o lado esquerdo:
Precisamos agora calcular a transformada do lado direito. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação:
Para encontrar , isolamos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão e realizar a inversa da Transformada de Laplace para encontrar . Isso geralmente envolve decomposição em frações parciais e reconhecimento de padrões transformáveis.

Resposta

Após simplificar e aplicar a Transformada de Laplace inversa, a solução da EDO é:

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Resolver o sistema de EDOs
Resolver o sistema com e .
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com e .
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .