Resolver os sistemas de equações lineares
1.4l3 x+2 y+z=4 2 x-y-3 z=5 2 x+8 y+8 z=-7

Passo 1

Estamos diante de um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para resolver esse sistema, vamos utilizar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações:
3x + 2y + z = 4 (Equação 1) 2x - y - 3z = 5 (Equação 2) 2x + 8y + 8z = -7 (Equação 3) çãçãçã
Nosso primeiro objetivo é eliminar uma das variáveis de duas par de equações. Vamos eliminar a variável .

Passo 3

Para eliminar (2) times (3x + 2y + z) = 2 times 4 (3) times (2x - y - 3z) = 3 times 5 , vamos combinar a Equação 1 e a Equação 2. Primeiro, precisamos que os coeficientes de 6x + 4y + 2z = 8 (Equação 1a) 6x - 3y - 9z = 15 (Equação 2a) sejam iguais em valor absoluto. Observando:
  • Equação 1 tem coeficiente de igual a 3.
  • Equação 2 tem coeficiente de igual a 2.
Podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e a Equação 2 por 3 para igualar os coeficientes:
Isso resulta em:
çãçã

Passo 4

Agora, subtraímos a Equação 2a da Equação 1a para eliminar (6x + 4y + 2z) - (6x - 3y - 9z) = 8 - 15 :
6x - 6x + 4y + 3y + 2z + 9z = -7
Simplificando:
7y + 11z = -7 (Equação 4)
çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar (2) times (3x + 2y + z) = 2 times 4 (3) times (2x + 8y + 8z) = 3 times (-7) novamente, mas utilizando a Equação 1 e a Equação 3. Novamente, ajustamos os coeficientes de 6x + 4y + 2z = 8 (Equação 1b) 6x + 24y + 24z = -21 (Equação 3a) :
  • Equação 1 tem coeficiente de igual a 3.
  • Equação 3 tem coeficiente de igual a 2.
Multiplicamos a Equação 1 por 2 e a Equação 3 por 3:
Isso resulta em:
çãçã

Passo 6

Subtraímos a Equação 1b da Equação 3a para eliminar (6x + 24y + 24z) - (6x + 4y + 2z) = -21 - 8 :
6x - 6x + 24y - 4y + 24z - 2z = -29
Simplificando:
20y + 22z = -29 (Equação 5)
çã

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
7y + 11z = -7 (Equação 4) 20y + 22z = -29 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar 20 times (7y + 11z) = 20 times (-7) 7 times (20y + 22z) = 7 times (-29) e 140y + 220z = -140 (Equação 4a) 140y + 154z = -203 (Equação 5a) . Podemos usar o método de eliminação novamente. Vamos multiplicar a Equação 4 por 20 e a Equação 5 por 7 para igualar os coeficientes de :
Isso resulta em:
çãçã

Passo 8

Subtraímos a Equação 5a da Equação 4a para eliminar (140y + 220z) - (140y + 154z) = -140 - (-203) :
140y - 140y + 220z - 154z = 63
Simplificando:
66z = 63
z = 6366 = 2122
Então:

Passo 9

Agora que temos o valor de 7y + 11 ( 2122 ) = -7 , substituímos na Equação 4 para encontrar 7y + 23122 = -7 :
7y = -7 - 23122 = -15422 - 23122 = -38522
Multiplicando:
y = -38522 times 7 = -385154 = -3514 = -52
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 7:

Passo 10

Agora que temos 3x + 2 ( -52 ) + 2122 = 4 e 3x - 5 + 2122 = 4 , substituímos esses valores na Equação 1 para encontrar 3x + 2122 = 9 :
3x = 9 - 2122 = 19822 - 2122 = 17722
Simplificando:
x = 17722 times 3 = 17766 = 5922
Somando 5 a ambos os lados:
Subtraindo :
Dividindo por 3:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 5922, y = -52, z = 2122

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