Resolver os sistemas de equações lineares
1 1 0 2 x1+1 x2+1 x3 & =0 14 x1+4 x2+2 x3 & =0 -34 x1-5 x2+3 x3 & =0 7 x1+2 x2+1 x3 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você trouxe. O que temos aí são quatro equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos as soluções. Então, vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar. Temos:
2x1 + x2 + x3 = 0 (Equação 1) 14x1 + 4x2 + 2x3 = 0 (Equação 2) -34x1 -5x2 + 3x3 = 0 (Equação 3) 7x1 + 2x2 + x3 = 0 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das incógnitas das Equações 2, 3 e 4 usando a Equação 1. Vamos eliminar o x1.
Para isso, multiplicamos a Equação 1 por 7 e subtraímos da Equação 2:
7 times Equação 1: 14x1 + 7x2 + 7x3 = 0 çã
Equação 2 - 7 times Equação 1: (14x1 + 4x2 + 2x3) - (14x1 + 7x2 + 7x3) = 0 - 0 çãçã
-3x2 -5x3 = 0 (Nova Equação 2) çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x1 da Equação 3 usando a Equação 1. Multiplicamos a Equação 1 por 17 e somamos à Equação 3:
17 times Equação 1: 34x1 + 17x2 + 17x3 = 0 çã
Equação 3 + 17 times Equação 1: (-34x1 -5x2 + 3x3) + (34x1 +17x2 +17x3) = 0 + 0 çãçã
12x2 +20x3 = 0 (Nova Equação 3) çã

Passo 5

Vamos também eliminar o x1 da Equação 4 usando a Equação 1. Multiplicamos a Equação 1 por 3.5 e subtraímos da Equação 4:
3.5 times Equação 1: 7x1 + 3.5x2 + 3.5x3 = 0 çã
Equação 4 - 3.5 times Equação 1: (7x1 +2x2 +x3) - (7x1 +3.5x2 +3.5x3) = 0 - 0 çãçã
-1.5x2 -2.5x3 = 0 (Nova Equação 4) çã

Passo 6

Agora, nosso sistema está reduzido a três equações com duas incógnitas ( x2 e x3):
-3x2 -5x3 = 0 (Equação 2) 12x2 +20x3 = 0 (Equação 3) -1.5x2 -2.5x3 = 0 (Equação 4) çãçãçã
Podemos simplificar a Equação 4 multiplicando por 2 para eliminar os decimais:
-3x2 -5x3 = 0 (Equação 4 simplificada) çã
Vemos que a Equação 4 simplificada é igual à Equação 2, então na verdade temos apenas duas equa��ões independentes:
-3x2 -5x3 = 0 (Equação 2) 12x2 +20x3 = 0 (Equação 3) çãçã

Passo 7

Vamos resolver a Equação 2 para uma das incógnitas. Vamos resolver para x2:
-3x2 -5x3 = 0 -3x2 = 5x3 x2 = -53x3

Passo 8

Agora, substituímos x2 na Equação 3:
12(-53x3) +20x3 = 0 -20x3 +20x3 = 0 0 = 0
Isso significa que as duas equações são equivalentes e não nos dão mais informação. Portanto, temos uma variável livre, que vamos chamar de x3 = t, onde t pode ser qualquer número real.

Passo 9

Agora, sabemos que x3 = t. Vamos encontrar x2 usando a expressão que encontramos:
x2 = -53t
E finalmente, voltamos à Equação 1 para encontrar x1:
2x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + (-53t) + t = 0 2x1 - 53t + t = 0 2x1 - 23t = 0 2x1 = 23t x1 = 13t

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = dfrac13t x2 = -dfrac53t x3 = t onde t in R
Ou seja, todas as soluções são múltiplos de (13, -53, 1).

Exercícios relacionados

Resolver os sistemas de equações lineares
1.8-x+2 y+z & =5 2 x-3 y+4 z & =-3 4 x-5 y+14 z & =1
Sejam A e B conjuntos finitos tais que n(A cup B)=40, n(A cap B)=10 e n(A-B)=26. Determine n(B-A).
Resolver os sistemas de equações lineares
1.9l2 x1-x2-x3=1 4 x1-3 x2+x3=0 -x1+x2+2 x3=-2
Resolver os sistemas de equações lineares
1 1 1 w1 & =5 2 w1+w2 & =9 -w1+w2+w3 & =4 2 w1+3 w2-2 w3+w4 & =-7