Sejam A e B conjuntos finitos tais que n(A cup B)=40, n(A cap B)=10 e n(A-B)=26. Determine n(B-A).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos finitos, e , e nos são dados três informações:
  • O número de elementos na união de e é 40, ou seja, .
  • O número de elementos na interseção de e é 10, ou seja, .
  • O número de elementos que estão em mas não em é 26, ou seja, .
Queremos descobrir quantos elementos estão em mas não em , ou seja, determinar .
Vamos usar conceitos de teoria de conjuntos, especificamente a fórmula da união de dois conjuntos.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula que relaciona a união e a interseção de dois conjuntos:
n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B)
Essa fórmula nos ajuda a encontrar o número total de elementos na união dos conjuntos e , sabendo os números de elementos em cada conjunto e na interseção deles.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o número de elementos no conjunto n(A) = n(A - B) + n(A cap B) . Sabemos que:
n(A) = 26 + 10 = 36
Substituindo os valores fornecidos:
Então, o conjunto tem 36 elementos.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da união para encontrar o número de elementos em n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B) :
40 = 36 + n(B) - 10
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar 40 = 36 + n(B) - 10 40 = 26 + n(B) n(B) = 40 - 26 n(B) = 14 :
Então, o conjunto tem 14 elementos.

Passo 6

Finalmente, queremos encontrar n(B - A) = n(B) - n(A cap B) , que representa o número de elementos que estão em n(B - A) = 14 - 10 = 4 mas não em . Podemos calcular isso subtraindo o número de elementos na interseção de e do total de elementos em :
Substituindo os valores:

Resposta

O número de elementos em é 4.

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