Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do , consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está dentro do conjunto. O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Isso não é verdade. Então, o vetor zero não está no conjunto.
Passo 3
Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar completo, vamos verificar as outras condições também.
Passo 4
Vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores e no conjunto, ou seja, e . Somando os vetores:
Para que esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo e :
Isso resulta em , o que não é verdade. Então, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos ver a multiplicação por escalar. Pegue um vetor no conjunto, onde , e um escalar . Multiplicando:
Para que esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo :
Isso só é válido se , ou seja, para outros escalares a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de .