Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R^3, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (x, y, z) in R^3 / y=x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está dentro do conjunto. O vetor zero em 0 = 0 + 1 implies 0 = 1 é . Substituindo na condição :
Isso não é verdade. Então, o vetor zero não está no conjunto.

Passo 3

Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar completo, vamos verificar as outras condições também.

Passo 4

Vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e y1 + y2 = (x1 + x2) + 1 no conjunto, ou seja, (x1 + 1) + (x2 + 1) = x1 + x2 + 1 implies x1 + x2 + 2 = x1 + x2 + 1 e . Somando os vetores:
Para que esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo e :
Isso resulta em , o que não é verdade. Então, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos ver a multiplicação por escalar. Pegue um vetor ku = (kx, ky, kz) no conjunto, onde ky = kx + 1 , e um escalar k(x + 1) = kx + 1 implies kx + k = kx + 1 implies k = 1 . Multiplicando:
Para que esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo :
Isso só é válido se , ou seja, para outros escalares a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados