Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
, consideradas as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está dentro do conjunto. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Isso não é verdade. Então, o vetor zero não está no conjunto.
Passo 3
Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar completo, vamos verificar as outras condições também.
Passo 4
Vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores
e
no conjunto, ou seja,
e
. Somando os vetores:
Para que
esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo
e
:
Isso resulta em
, o que não é verdade. Então, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos ver a multiplicação por escalar. Pegue um vetor
no conjunto, onde
, e um escalar
. Multiplicando:
Para que
esteja no conjunto, precisa valer:
Substituindo
:
Isso só é válido se
, ou seja, para outros escalares a condição não é satisfeita. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de
.