Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
l x+y+z+w-t=0 x-y-z+2 w-t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema homogêneo aí! A gente está lidando com sistemas lineares, que fazem parte da álgebra. Pra resolver, vamos precisar manipular as equações pra achar as relações entre as variáveis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
l x + y + z + w - t = 0 x - y - z + 2w - t = 0

Passo 3

Agora, pra facilitar, vamos subtrair a segunda equação da primeira. Assim, a gente elimina o (x + y + z + w - t) - (x - y - z + 2w - t) = 0 - 0 e o 0 + 2y + 2z - w = 0 :
2y + 2z - w = 0 Rightarrow w = 2y + 2z

Passo 4

Agora que encontramos x + y + z + (2y + 2z) - t = 0 em termos de x + 3y + 3z - t = 0 Rightarrow x = t - 3y - 3z e , vamos substituir esse valor na primeira equação pra encontrar em termos das outras variáveis:

Passo 5

Agora, podemos notar que temos 5 variáveis ( x = t - 3y - 3z ) e apenas 2 equações. Isso significa que teremos várias soluções livres. Vamos escolher w = 2y + 2z , y = y (livre) e z = z (livre) como parâmetros livres.
Então, temos:
t = t (livre)

Resposta

As soluções do sistema são todas as quintuplas dados por:
(x, y, z, w, t) = (t - 3y - 3z, y, z, 2y + 2z, t)
onde , e são números reais quaisquer.

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