Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
l 3-y+2 z-t=0 3 x+y+3 z+t=0 x-y-z-5 t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você mandou! O que temos aqui são três equações com quatro incógnitas: , , e . A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrarmos os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
3 - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Vamos reescrever essas equações colocando as variáveis em ordem e os números no outro lado:
-y + 2z - t = -3 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0

Passo 3

Agora, vamos eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar o (-y + 2z - t) + (3x + y + 3z + t) = -3 + 0 . Para isso, somamos a primeira equação com a segunda:
3x + 5z = -3 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar (-y + 2z - t) + (x - y - z - 5t) = -3 + 0 usando a primeira e a terceira equação. Somamos a primeira equação com a terceira:
x - 2y + z - 6t = -3 (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, temos duas novas equações:
3x + 5z = -3 (Equação 4) x - 2y + z - 6t = -3 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para 3x = -3 - 5z x = -3 - 5z3 :

Passo 6

Com o valor de -3 - 5z3 - 2y + z - 6t = -3 em termos de -3 - 5z - 6y + 3z - 18t = -9 , podemos substituir na Equação 5:
-6y - 2z - 18t = -6 Dividindo tudo por -2:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
3y + z + 9t = 3
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma equação com 3y = 3 - z - 9t y = 1 - z3 - 3t , e . Vamos expressar em termos de e :

Passo 8

Até agora, expressamos x = -3 - 5z3 y = 1 - z3 - 3t z = z t = t e x = -1 - 53z y = 1 - 13z - 3t z = z t = t em termos de e . Isso significa que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Vamos resumir as soluções:
Podemos também escrever isso de forma mais elegante:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -1 - dfrac53z y = 1 - dfrac13z - 3t z = z t = t
Onde e podem ser quaisquer números reais.

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