Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você mandou! O que temos aqui são três equações com quatro incógnitas: , , e . A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrarmos os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
3 - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Vamos reescrever essas equações colocando as variáveis em ordem e os números no outro lado:
-y + 2z - t = -3 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Passo 3
Agora, vamos eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar o (-y + 2z - t) + (3x + y + 3z + t) = -3 + 0 . Para isso, somamos a primeira equação com a segunda:
3x + 5z = -3 (Equação 4)
Simplificando:
çã
Passo 4
Em seguida, vamos eliminar (-y + 2z - t) + (x - y - z - 5t) = -3 + 0 usando a primeira e a terceira equação. Somamos a primeira equação com a terceira:
x - 2y + z - 6t = -3 (Equação 5)
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora, temos duas novas equações:
3x + 5z = -3 (Equação 4) x - 2y + z - 6t = -3 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para 3x = -3 - 5z x = -3 - 5z3 :
Passo 6
Com o valor de -3 - 5z3 - 2y + z - 6t = -3 em termos de -3 - 5z - 6y + 3z - 18t = -9 , podemos substituir na Equação 5:
-6y - 2z - 18t = -6 Dividindo tudo por -2:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
3y + z + 9t = 3
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma equação com 3y = 3 - z - 9t y = 1 - z3 - 3t , e . Vamos expressar em termos de e :
Passo 8
Até agora, expressamos x = -3 - 5z3 y = 1 - z3 - 3t z = z t = t e x = -1 - 53z y = 1 - 13z - 3t z = z t = t em termos de e . Isso significa que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Vamos resumir as soluções:
Podemos também escrever isso de forma mais elegante:
Resposta
As soluções do sistema são dadas por:
x = -1 - dfrac53z y = 1 - dfrac13z - 3t z = z t = t