Sejam os pontos A=(1,2,-3) e B=(2,3,0). Represente geometricamente o vetor v=A B num sistema cartesiano, a partir da origem. Dado P=(5,-1,0), encontre Q tal que Q=P+v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vetores no espaço tridimensional. Primeiro, precisamos entender como representar o vetor v = AB a partir da origem em um sistema cartesiano. Depois, usando esse vetor, vamos encontrar o ponto Q a partir de um ponto dado P = (5, -1, 0). Para isso, vamos precisar saber calcular as componentes de um vetor e como somá-las a um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v = AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das de B. A fórmula para isso é:
v = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
Então, substituindo os valores:
v = (2 - 1, 3 - 2, 0 - (-3)) = (1, 1, 3)
Portanto, o vetor v tem componentes (1, 1, 3).

Passo 3

Agora, vamos representar geometricamente o vetor v a partir da origem no sistema cartesiano. Isso significa que o vetor vai começar no ponto (0, 0, 0) e terminar no ponto correspondente às suas componentes, que são (1, 1, 3). Então, desenhamos uma linha do ponto de origem até o ponto (1, 1, 3) no espaço tridimensional.

Passo 4

Com o vetor v encontrado, vamos usar esse vetor para encontrar o ponto Q a partir do ponto P = (5, -1, 0). A operação que precisamos fazer é a de soma vetorial, que é dada por:
Q = P + v
Isso significa que somamos as componentes correspondentes de P e de v.

Passo 5

Vamos somar as componentes de P e v:
Q = (5 + 1, -1 + 1, 0 + 3) = (6, 0, 3)
Então, o ponto Q tem coordenadas (6, 0, 3).

Resposta

O ponto Q é (6, 0, 3).

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