Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
a) l3-y+2 z-t=0 3 x+y+3 z+t=0 x-y-z-5 t=0
b) lx+y+z+w-t=0 x-y-z+2 w-t=0
c)
d) aligned 4 x+3 y-z+t & =0 x-y+2 z-t & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações homogêneo que é o item a):
l 3 - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Estamos trabalhando com sistemas lineares, onde queremos encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações para deixar todas as variáveis do mesmo lado e os termos constantes do outro. Como temos um sistema homogêneo (igual a zero), já está nesse formato:
l 3x^0 - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Aqui, representa nenhum na primeira equação.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a eliminação:
0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 1 & -1 & -1 & -5 & | & 0

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 0 na primeira linha, precisaremos trocar linhas). Vamos trocar a primeira e a segunda linha para ter um pivô diferente de zero:
3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 1 & -1 & -1 & -5 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos zerar o Nova terceira linha = Linha 3 - 13 times Linha 1 na terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -43 & -2 & -163 & | & 0 e subtraímos da terceira linha:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha multiplicando por 3 para eliminar as frações:
3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -4 & -6 & -16 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda linha para zerar o elemento abaixo dela na terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à terceira linha:
Nova terceira linha = Linha 3 + 4 times Linha 2
3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 0 & 2 & -20 & | & 0

Passo 8

Agora temos um sistema triangular superior que podemos resolver de baixo para cima.
Da terceira equação:
2z - 20t = 0 implies z = 10t
Da segunda equação:
-y + 2z - t = 0 implies -y + 20t - t = 0 implies y = 19t
Da primeira equação:
3x + y + 3z + t = 0 implies 3x + 19t + 30t + t = 0 implies 3x + 50t = 0 implies x = -503t

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = -503t, y = 19t, z = 10t, t = t
Ou seja, todas as soluções são múltiplos do parâmetro .

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