Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações homogêneo que é o item a):
Estamos trabalhando com sistemas lineares, onde queremos encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações para deixar todas as variáveis do mesmo lado e os termos constantes do outro. Como temos um sistema homogêneo (igual a zero), já está nesse formato:
Aqui, representa nenhum na primeira equação.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a eliminação:

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 0 na primeira linha, precisaremos trocar linhas). Vamos trocar a primeira e a segunda linha para ter um pivô diferente de zero:

Passo 5

Agora, vamos zerar o na terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha multiplicando por 3 para eliminar as frações:

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda linha para zerar o elemento abaixo dela na terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à terceira linha:

Passo 8

Agora temos um sistema triangular superior que podemos resolver de baixo para cima.
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Ou seja, todas as soluções são múltiplos do parâmetro .

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Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(e)
Sabendo que , calcular:
Sabendo que , calcular: