Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão epsilon=0,05. Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
l15 x+3 y=7,5 2 x-10 y=10

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar reordenar as equações se necessário e iterar até alcançarmos a precisão desejada, que aqui é epsilon = 0,05. Nosso sistema é:
15x + 3y = 7,5 2x - 10y = 10

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar as iterações no método de Gauss-Seidel. Queremos expressar cada variável em função da outra. Então, vamos isolar x na primeira equação e y na segunda:
x = 7,5 - 3y15 y = 2x - 1010
Simplificando:
x = 0,5 - 0,2y y = 0,2x - 1

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Precisamos de valores iniciais para x e y. Vamos supor que, inicialmente, x^(0) = 0 e y^(0) = 0. A cada iteração, vamos atualizar esses valores usando as fórmulas que isolamos:
x^(k+1) = 0,5 - 0,2y^(k) y^(k+1) = 0,2x^(k+1) - 1

Passo 4

Vamos fazer as primeiras iterações até atingir a precisão de epsilon = 0,05.
Iteração 1:
x^(1) = 0,5 - 0,2 times 0 = 0,5
y^(1) = 0,2 times 0,5 - 1 = -0,9
Iteração 2:
x^(2) = 0,5 - 0,2 times (-0,9) = 0,68
y^(2) = 0,2 times 0,68 - 1 = -0,864
Iteração 3:
x^(3) = 0,5 - 0,2 times (-0,864) = 0,673
y^(3) = 0,2 times 0,673 - 1 = -0,8666
Verificando a precisão:
A diferença entre y^(3) e y^(2) é | -0,8666 - (-0,864) | = 0,0026, que é menor que 0,05. Então, paramos por aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com precisão de 0,05, é:
x approx 0,67 e y approx -0,87

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