Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão . Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como o método de Gauss-Seidel funciona, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é isolar cada variável em uma equação e ir refinando as soluções passo a passo até atingir a precisão desejada, que neste caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar o sistema para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel. Vamos reescrever cada equação para expressar , e em função das outras variáveis:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Agora temos as expressões prontas para iterar.
Passo 3
Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos . Então:
Passo 4
Vamos realizar a primeira iteração usando as fórmulas que encontramos:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, após a primeira iteração, os valores são:
Passo 5
Vamos para a segunda iteração usando os valores atualizados:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Após a segunda iteração:
Passo 6
Parece que os valores estão divergindo e aumentando em magnitude. Isso indica que o método de Gauss-Seidel pode não estar convergindo para este sistema específico, possivelmente devido à escolha inicial ou à necessidade de reordenar o sistema para garantir a convergência.
Passo 7
Para melhorar as chances de convergência, vamos reordenar o sistema de equações de forma que os coeficientes diagonais sejam maiores em magnitude. Vamos reorganizar as equações:
Segunda equação:
Primeira equação:
Terceira equação:
Agora, isolamos as variáveis novamente:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Passo 8
Vamos reiniciar as iterações com os valores iniciais .
Primeira iteração após a reordenação:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Valores após a primeira iteração:
Passo 9
Vamos para a segunda iteração com os novos valores:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Valores após a segunda iteração:
Passo 10
Novamente, os valores estão aumentando muito, indicando que a reordenação não ajudou na convergência. Isso sugere que o método de Gauss-Seidel pode não ser adequado para este sistema específico com as equações fornecidas.
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Seidel e tentar reordenar o sistema, observamos que as iterações não convergem para soluções estáveis com a precisão desejada de . Portanto, o método de Gauss-Seidel não foi bem-sucedido para este sistema específico.