Vamos precisar entender como o método de Gauss-Seidel funciona, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é isolar cada variável em uma equação e ir refinando as soluções passo a passo até atingir a precisão desejada, que neste caso é epsilon = 0,05.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar o sistema para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel. Vamos reescrever cada equação para expressar x1, x2 e x3 em função das outras variáveis:
Da primeira equação:
x1 = 2 - x2 + x35
Da segunda equação:
x2 = 2x1 + 8x3 - 41
Da terceira equação:
x3 = 5 - x1 + 10x24
Agora temos as expressões prontas para iterar.
Passo 3
Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos x1^(0) = x2^(0) = x3^(0) = 0. Então:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Passo 4
Vamos realizar a primeira iteração usando as fórmulas que encontramos:
Parece que os valores estão divergindo e aumentando em magnitude. Isso indica que o método de Gauss-Seidel pode não estar convergindo para este sistema específico, possivelmente devido à escolha inicial ou à necessidade de reordenar o sistema para garantir a convergência.
Passo 7
Para melhorar as chances de convergência, vamos reordenar o sistema de equações de forma que os coeficientes diagonais sejam maiores em magnitude. Vamos reorganizar as equações:
Segunda equação: 2x1 - x2 + 8x3 = 4
Primeira equação: 5x1 + x2 - x3 = 2
Terceira equação: x1 - 10x2 + 4x3 = 5
Agora, isolamos as variáveis novamente:
Da segunda equação:
x1 = 4 + x2 - 8x32
Da primeira equação:
x2 = 2 - 5x1 + x31
Da terceira equação:
x3 = 5 - x1 + 10x24
Passo 8
Vamos reiniciar as iterações com os valores iniciais x1^(0) = x2^(0) = x3^(0) = 0.
Novamente, os valores estão aumentando muito, indicando que a reordenação não ajudou na convergência. Isso sugere que o método de Gauss-Seidel pode não ser adequado para este sistema específico com as equações fornecidas.
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Seidel e tentar reordenar o sistema, observamos que as iterações não convergem para soluções estáveis com a precisão desejada de epsilon = 0,05. Portanto, o método de Gauss-Seidel não foi bem-sucedido para este sistema específico.