Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão epsilon=0,05. Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
c5 x1+x2-x3=2 2 x1- x2+8 x3=4 x1-10 x2+4 x3=5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
5x1 + x2 - x3 = 2 2x1 - x2 + 8x3 = 4 x1 - 10x2 + 4x3 = 5
Vamos precisar entender como o método de Gauss-Seidel funciona, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A ideia é isolar cada variável em uma equação e ir refinando as soluções passo a passo até atingir a precisão desejada, que neste caso é epsilon = 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar o sistema para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel. Vamos reescrever cada equação para expressar x1, x2 e x3 em função das outras variáveis:
  1. Da primeira equação:
x1 = 2 - x2 + x35
  1. Da segunda equação:
x2 = 2x1 + 8x3 - 41
  1. Da terceira equação:
x3 = 5 - x1 + 10x24
Agora temos as expressões prontas para iterar.

Passo 3

Escolhemos valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, usamos x1^(0) = x2^(0) = x3^(0) = 0. Então:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração usando as fórmulas que encontramos:
  1. Calculando x1^(1):
x1^(1) = 2 - x2^(0) + x3^(0)5 = 2 - 0 + 05 = 0,40
  1. Calculando x2^(1):
x2^(1) = 2x1^(1) + 8x3^(0) - 4 = 2(0,40) + 8(0) - 4 = 0,80 - 4 = -3,20
  1. Calculando x3^(1):
x3^(1) = 5 - x1^(1) + 10x2^(1)4 = 5 - 0,40 + 10(-3,20)4 = 4,60 - 324 = -27,404 = -6,85
Então, após a primeira iteração, os valores são:
x1^(1) = 0,40, x2^(1) = -3,20, x3^(1) = -6,85

Passo 5

Vamos para a segunda iteração usando os valores atualizados:
  1. Calculando x1^(2):
x1^(2) = 2 - x2^(1) + x3^(1)5 = 2 - (-3,20) + (-6,85)5 = 2 + 3,20 - 6,855 = -1,655 = -0,33
  1. Calculando x2^(2):
x2^(2) = 2x1^(2) + 8x3^(1) - 4 = 2(-0,33) + 8(-6,85) - 4 = -0,66 - 54,80 - 4 = -59,46
  1. Calculando x3^(2):
x3^(2) = 5 - x1^(2) + 10x2^(2)4 = 5 - (-0,33) + 10(-59,46)4 = 5 + 0,33 - 594,604 = -589,274 = -147,32
Após a segunda iteração:
x1^(2) = -0,33, x2^(2) = -59,46, x3^(2) = -147,32

Passo 6

Parece que os valores estão divergindo e aumentando em magnitude. Isso indica que o método de Gauss-Seidel pode não estar convergindo para este sistema específico, possivelmente devido à escolha inicial ou à necessidade de reordenar o sistema para garantir a convergência.

Passo 7

Para melhorar as chances de convergência, vamos reordenar o sistema de equações de forma que os coeficientes diagonais sejam maiores em magnitude. Vamos reorganizar as equações:
  1. Segunda equação: 2x1 - x2 + 8x3 = 4
  2. Primeira equação: 5x1 + x2 - x3 = 2
  3. Terceira equação: x1 - 10x2 + 4x3 = 5
Agora, isolamos as variáveis novamente:
  1. Da segunda equação:
x1 = 4 + x2 - 8x32
  1. Da primeira equação:
x2 = 2 - 5x1 + x31
  1. Da terceira equação:
x3 = 5 - x1 + 10x24

Passo 8

Vamos reiniciar as iterações com os valores iniciais x1^(0) = x2^(0) = x3^(0) = 0.
Primeira iteração após a reordenação:
  1. Calculando x1^(1):
x1^(1) = 4 + x2^(0) - 8x3^(0)2 = 4 + 0 - 02 = 2,00
  1. Calculando x2^(1):
x2^(1) = 2 - 5x1^(1) + x3^(0) = 2 - 5(2,00) + 0 = 2 - 10 = -8,00
  1. Calculando x3^(1):
x3^(1) = 5 - x1^(1) + 10x2^(1)4 = 5 - 2,00 + 10(-8,00)4 = 3 - 804 = -774 = -19,25
Valores após a primeira iteração:
x1^(1) = 2,00, x2^(1) = -8,00, x3^(1) = -19,25

Passo 9

Vamos para a segunda iteração com os novos valores:
  1. Calculando x1^(2):
x1^(2) = 4 + x2^(1) - 8x3^(1)2 = 4 + (-8,00) - 8(-19,25)2 = 4 - 8 + 1542 = 1502 = 75,00
  1. Calculando x2^(2):
x2^(2) = 2 - 5x1^(2) + x3^(1) = 2 - 5(75,00) + (-19,25) = 2 - 375 - 19,25 = -392,25
  1. Calculando x3^(2):
x3^(2) = 5 - x1^(2) + 10x2^(2)4 = 5 - 75,00 + 10(-392,25)4 = -70 + (-3922,5)4 = -3992,54 = -998,13
Valores após a segunda iteração:
x1^(2) = 75,00, x2^(2) = -392,25, x3^(2) = -998,13

Passo 10

Novamente, os valores estão aumentando muito, indicando que a reordenação não ajudou na convergência. Isso sugere que o método de Gauss-Seidel pode não ser adequado para este sistema específico com as equações fornecidas.

Resposta

Após aplicar o método de Gauss-Seidel e tentar reordenar o sistema, observamos que as iterações não convergem para soluções estáveis com a precisão desejada de epsilon = 0,05. Portanto, o método de Gauss-Seidel não foi bem-sucedido para este sistema específico.

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