Ao resolver os três itens abaixo, discuta sempre o seu resultado no contexto do conceito de casualidade (i.e., efeitos não podem acontecer antes de suas causas).
Se dois eventos acontecem no mesmo local num dado referencial inercial S, mostre que sua ordem temporal será a mesma para qualquer outro referencial inercial, e que o menor intervalo de tempo medido entre os dois referenciais será em S .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos dois eventos que ocorrem no mesmo local em um referencial inercial . Precisamos mostrar que a ordem temporal desses eventos permanece a mesma em qualquer outro referencial inercial e que o intervalo de tempo entre eles é menor em . Para resolver isso, vamos usar os conceitos da Relatividade Restrita de Einstein, especificamente as transformações de Lorentz, que nos ajudam a relacionar as medidas de tempo e espaço em diferentes referenciais inerciais.

Passo 2

Vamos considerar que no referencial , os dois eventos e acontecem no mesmo local, ou seja, têm a mesma coordenada espacial . As coordenadas temporais desses eventos em são e .

Passo 3

Para analisar como esses eventos são observados em outro referencial inercial , que se move com velocidade em relação a , usamos as transformações de Lorentz. As equações são:
onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.

Passo 4

Como os eventos e ocorrem no mesmo local em , temos . Aplicando a transformação de Lorentz para o tempo, temos:

Passo 5

Vamos calcular a diferença de tempo entre os eventos em :
onde é o intervalo de tempo em .

Passo 6

Observamos que porque . Portanto, . Isso mostra que o intervalo de tempo entre os eventos em é maior ou igual ao intervalo em .

Passo 7

Como , se , a ordem temporal dos eventos permanece a mesma em ambos os referenciais. Ou seja, se em , então em . Isso preserva o conceito de causalidade, onde efeitos não podem ocorrer antes de suas causas.

Resposta

Portanto, mostramos que quando dois eventos acontecem no mesmo local em um referencial inercial , a ordem temporal desses eventos é preservada em qualquer outro referencial inercial , e o intervalo de tempo entre eles é menor em , garantindo a causalidade.

Exercícios relacionados

Converta cada equação polar para cartesiana:
Indique se a equação é linear em e .
(e)
Seja um espaço vetoriais real. Sejam e dois subespaços vetoriais de . Mostre que é, ainda, um subespaço vetorial de .
Ao resolver os três itens abaixo, discuta sempre o seu resultado no contexto do conceito de casualidade (i.e., efeitos não podem acontecer antes de suas causas).
Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação num dado referencial . Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente .