Seja
um espaço vetoriais real. Sejam
e
dois subespaços vetoriais de
. Mostre que
é, ainda, um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a interseção de dois subespaços vetoriais,
e
, de um espaço vetorial
real, também é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar essas definições para a interseção
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço vetorial se satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechamento pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos usar essas condições para verificar se
é um subespaço vetorial.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
Sabemos que tanto
quanto
são subespaços vetoriais, então ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção
.
2. Fechamento pela adição:
Sejam
e
dois vetores pertencentes a
. Isso significa que
e
estão tanto em
quanto em
.
Como
é um subespaço, a soma
também está em
.
Da mesma forma, como
é um subespaço,
também está em
.
Portanto,
está em
.
3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
Sejam
um vetor em
e
um escalar.
Como
é um subespaço,
está em
.
Da mesma forma, como
é um subespaço,
também está em
.
Logo,
está em
.
Passo 4
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas para
, podemos concluir que a interseção
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Resposta
A interseção
é um subespaço vetorial de
.
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