Seja V um espaço vetoriais real. Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V. Mostre que W1 cap W2 é, ainda, um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a interseção de dois subespaços vetoriais, e , de um espaço vetorial real, também é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar essas definições para a interseção .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço vetorial se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos usar essas condições para verificar se é um subespaço vetorial.

Passo 3

1. O vetor zero está em :
Sabemos que tanto quanto são subespaços vetoriais, então ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção .
2. Fechamento pela adição:
Sejam e dois vetores pertencentes a . Isso significa que e estão tanto em quanto em .
Como é um subespaço, a soma também está em .
Da mesma forma, como é um subespaço, também está em .
Portanto, está em .
3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
Sejam um vetor em e um escalar.
Como é um subespaço, está em .
Da mesma forma, como é um subespaço, também está em .
Logo, está em .

Passo 4

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas para , podemos concluir que a interseção é, de fato, um subespaço vetorial de .

Resposta

A interseção é um subespaço vetorial de .

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