O respiro de um tanque muito grande está fechado e o tanque é pressurizado para aumentar a vazão Q. Qual é a pressão no manométrico p1, para que a vazão no tubo seja o dobro daquela referente à situação onde o respiro está aberto?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um tanque bem grande que está com o respiro fechado. Quando o respiro está aberto, há uma certa vazão de fluido, que chamamos de . Agora, queremos pressurizar esse tanque para que a vazão no tubo passe a ser o dobro, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de vazão de fluidos e pressão manométrica. Precisamos entender como a pressão no tanque está relacionada à vazão no tubo para encontrar a pressão necessária .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a vazão de um fluido em tubos geralmente está relacionada à diferença de pressão que o impulsiona. A relação entre pressão e vazão pode ser descrita pela equação de Bernoulli ou por fórmulas de vazão que consideram a resistência do fluxo, como a Lei de Hagen-Poiseuille para escoamento laminar ou a Equação de Darcy-Weisbach para escoamento turbulento. Para simplificar, vamos assumir que a vazão Q propto raizDe é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão :

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a relação entre as duas situações: com o respiro aberto e com o respiro fechado. Quando o respiro está aberto, a diferença de pressão é menor, e temos uma certa vazão 2QQ = raizDe. Quando queremos dobrar a vazão para 2 = raizDe, precisamos aumentar a diferença de pressão. Usando a proporcionalidade, temos:

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada, obtemos:
(2)^2 = (raizDe
4 = De
De

Passo 5

Isso significa que a diferença de pressão necessária para dobrar a vazão é quatro vezes a diferença de pressão original quando o respiro estava aberto. Portanto, a pressão manométrica p1 = 4 p2 que precisamos aplicar é quatro vezes a pressão manométrica na situação com o respiro aberto.

Resposta

A pressão manométrica necessária para que a vazão no tubo seja o dobro é quatro vezes a pressão original, ou seja, .

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