Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação que envolve números complexos. Especificamente, ela diz: “Se a parte imaginária de é maior que 0, então a parte real de também é maior que 0.” Para resolver isso, vamos precisar conhecer como manipular números complexos, especialmente como encontrar o inverso de um número complexo.

Passo 2

Vamos considerar um número complexo geral , onde é a parte real e é a parte imaginária de . A condição dada é que . Nosso objetivo é encontrar e verificar se sua parte real é de fato maior que 0.

Passo 3

Para encontrar , usamos a fórmula do inverso de um número complexo:
Aqui, é o conjugado de , e é o módulo de ao quadrado.

Passo 4

Agora, separamos a parte real e imaginária de :
A parte real de é .

Passo 5

Queremos saber se quando . Observe que o denominador é sempre positivo, já que é a soma de dois quadrados. Portanto, o sinal da parte real depende apenas de :

Passo 6

A afirmação diz que quando . No entanto, como vimos, isso depende do valor de :
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .

Resposta

A afirmação é falsa. Embora , a parte real de depende do valor de . Para que , é necessário que . Portanto, a afirmação correta seria: “Se e , então .”

Exercícios relacionados

Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Sejam . Calcule: .