Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se
então
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação que envolve números complexos. Especificamente, ela diz: “Se a parte imaginária de
é maior que 0, então a parte real de
também é maior que 0.” Para resolver isso, vamos precisar conhecer como manipular números complexos, especialmente como encontrar o inverso de um número complexo.
Passo 2
Vamos considerar um número complexo geral
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. A condição dada é que
. Nosso objetivo é encontrar
e verificar se sua parte real é de fato maior que 0.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a fórmula do inverso de um número complexo:
Aqui,
é o conjugado de
, e
é o módulo de
ao quadrado.
Passo 4
Agora, separamos a parte real e imaginária de
:
A parte real de
é
.
Passo 5
Queremos saber se
quando
. Observe que o denominador
é sempre positivo, já que é a soma de dois quadrados. Portanto, o sinal da parte real depende apenas de
:
Passo 6
A afirmação diz que
quando
. No entanto, como vimos, isso depende do valor de
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Resposta
A afirmação é falsa. Embora
, a parte real de
depende do valor de
. Para que
, é necessário que
. Portanto, a afirmação correta seria: “Se
e
, então
.”
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Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Sejam
. Calcule:
.