Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série é . [Verdadeiro - série geométrica cujo primeiro termo é e de razão

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a afirmação sobre a soma da série ser igual a é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar do que se trata essa série. Perceba que cada termo da série é da forma . Podemos reescrever esse termo para facilitar a identificação de uma série geométrica:
Aqui, vemos que a série é uma série geométrica, porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como somar uma série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo da série e é a razão comum. Mas essa fórmula só funciona se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar e na nossa série. Observando a reescrita que fizemos:
O primeiro termo ( ) é:
E a razão é:
Note que , então podemos usar a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:

Resposta

Verdadeiro. A soma da série é realmente .

Exercícios relacionados

Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a) Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série converge
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que e use o critério da divergência]
Sendo dadas por , e dada por , calcule
Sendo dadas por , e dada por , calcule