Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série sumn=1^infty (-3)^n+17^n é 910. [Verdadeiro - série geométrica cujo primeiro termo é 97 e de razão -37]

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a afirmação sobre a soma da série ser igual a é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar do que se trata essa série. Perceba que cada termo da série é da forma (-3)^n+17^n = (-3) cdot (-37)^n . Podemos reescrever esse termo para facilitar a identificação de uma série geométrica:
Aqui, vemos que a série é uma série geométrica, porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como somar uma série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
onde é o primeiro termo da série e é a razão comum. Mas essa fórmula só funciona se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar (-3)^n+17^n = (-3) cdot (-37)^n e a1 = (-3) cdot (-37)^1 = (-3) cdot (-37) = 97 na nossa série. Observando a reescrita que fizemos:
r = -37
O primeiro termo ( ) é:
E a razão é:
Note que , então podemos usar a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
S = a11 - r = 971 - (-37) = 971 + 37 = 97107 = 910

Resposta

Verdadeiro. A soma da série é realmente .

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