Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série
é
. [Verdadeiro - série geométrica cujo primeiro termo é
e de razão
O valor da soma da série
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a afirmação sobre a soma da série
ser igual a
é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar do que se trata essa série. Perceba que cada termo da série é da forma
. Podemos reescrever esse termo para facilitar a identificação de uma série geométrica:
Aqui, vemos que a série é uma série geométrica, porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como somar uma série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é o primeiro termo da série e
é a razão comum. Mas essa fórmula só funciona se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa série. Observando a reescrita que fizemos:
O primeiro termo (
) é:
E a razão
é:
Note que
, então podemos usar a fórmula da soma.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Resposta
Verdadeiro. A soma da série é realmente
.
Exercícios relacionados
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a) Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série
converge
(a)
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que
e use o critério da divergência]
(b)
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule