Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a) sumn=2^infty (-1)^nn(ln n)^2[ Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série sumn=2^infty 1n(ln n)^2 converge ]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada da forma . O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da convergência de séries alternadas e o teste da integral para verificar a convergência absoluta. Precisamos analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty 1n(ln n)^2
Para saber se essa série converge, usamos o teste da integral. Consideramos a função , que é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Calculamos a integral de integral2^infty 1x(ln x)^2 , dx de 2 até o infinito:
integral 1u^2 , du = -1u + C = -1ln x + C
Fazemos a substituição limx to infty -1ln x - (-1ln 2) = 0 + 1ln 2 = 1ln 2 , então . A integral fica:
Avaliando os limites:
Como a integral converge para um valor finito, pela integral test, a série também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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