Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a) Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série converge

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada da forma . O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da convergência de séries alternadas e o teste da integral para verificar a convergência absoluta. Precisamos analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Para saber se essa série converge, usamos o teste da integral. Consideramos a função , que é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Calculamos a integral de de 2 até o infinito:
Fazemos a substituição , então . A integral fica:
Avaliando os limites:
Como a integral converge para um valor finito, pela integral test, a série também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que e use o critério da divergência]
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência com para ver que diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]
Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série é . [Verdadeiro - série geométrica cujo primeiro termo é e de razão
Sendo dadas por , e dada por , calcule