Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a)
Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série
converge
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada da forma
. O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da convergência de séries alternadas e o teste da integral para verificar a convergência absoluta. Precisamos analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Para saber se essa série converge, usamos o teste da integral. Consideramos a função
, que é positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 3
Calculamos a integral de
de 2 até o infinito:
Fazemos a substituição
, então
. A integral fica:
Avaliando os limites:
Como a integral converge para um valor finito, pela integral test, a série
também converge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original
converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente.
Exercícios relacionados
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que
e use o critério da divergência]
(b)
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência
com
para ver que
diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]
(b)
Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série é
. [Verdadeiro - série geométrica cujo primeiro termo é
e de razão
O valor da soma da série
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule