Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. integral3^4 1raizx-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para descobrir se a integral integral3^4 1raizx-3 , dx é convergente ou divergente. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem definida em algum ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função integranda 1raizx-3, percebemos que ela não está definida em x = 3, porque o denominador se torna zero aí, o que faz a função tender ao infinito. Então, nosso ponto problemático é x = 3.

Passo 3

Para avaliar a convergência dessa integral, podemos reescrevê-la como um limite. Isso porque, quando temos um ponto onde a função não é definida, substituímos esse ponto por um limite quando a integral se aproxima desse ponto. Assim, a integral fica:
lima to 3^+ integrala^4 1raizx-3 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral indefinida integral 1raizx-3 , dx. Fazendo a substituição u = x - 3, então du = dx e a integral vira:
integral 1raizu , du = 2raizu + C = 2raizx - 3 + C

Passo 5

Voltando à nossa integral definida, substituímos os limites de integração de a a 4:
lima to 3^+ [ 2raizx - 3 ]a^4 = lima to 3^+ ( 2raiz4 - 3 - 2raiza - 3 )
Simplificando:
2raiz1 - 2raiza - 3 = 2 - 2raiza - 3

Passo 6

Agora, avaliamos o limite quando a se aproxima de 3 por valores maiores que 3:
lima to 3^+ ( 2 - 2raiza - 3 ) = 2 - 0 = 2

Resposta

A integral imprópria integral3^4 1raizx-3 , dx é convergente e seu valor é igual a 2.

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