Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para descobrir se a integral é convergente ou divergente. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem definida em algum ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função integranda , percebemos que ela não está definida em , porque o denominador se torna zero aí, o que faz a função tender ao infinito. Então, nosso ponto problemático é .

Passo 3

Para avaliar a convergência dessa integral, podemos reescrevê-la como um limite. Isso porque, quando temos um ponto onde a função não é definida, substituímos esse ponto por um limite quando a integral se aproxima desse ponto. Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral indefinida . Fazendo a substituição , então e a integral vira:

Passo 5

Voltando à nossa integral definida, substituímos os limites de integração de a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, avaliamos o limite quando se aproxima de por valores maiores que :

Resposta

A integral imprópria é convergente e seu valor é igual a 2.

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) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
a)
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
e)
Ronaldo trabalha em um escritório e seu serviço é arquivar documentos . Em determinado dia ele arquivou dos documentos no período da manhã e, no período da tarde, arquivou . Que fração da quantidade de documentos Ronaldo arquivou nesse dia?!