Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para descobrir se a integral
é convergente ou divergente. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem definida em algum ponto do intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função integranda
, percebemos que ela não está definida em
, porque o denominador se torna zero aí, o que faz a função tender ao infinito. Então, nosso ponto problemático é
.
Passo 3
Para avaliar a convergência dessa integral, podemos reescrevê-la como um limite. Isso porque, quando temos um ponto onde a função não é definida, substituímos esse ponto por um limite quando a integral se aproxima desse ponto. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral indefinida
. Fazendo a substituição
, então
e a integral vira:
Passo 5
Voltando à nossa integral definida, substituímos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite quando
se aproxima de
por valores maiores que
:
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é igual a 2.
Exercícios relacionados
a)
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
e)