Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Raiz, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge analisando a raiz enésima dos termos gerais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da raiz enésima de
conforme
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, vamos entender como esse termo se comporta conforme
aumenta.
Passo 3
Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
Como
, o Teste da Raiz nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Raiz.