Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=2^infty(1-1n)^-2 n.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série sumn=2^infty(1-1n)^-2 n. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Raiz, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge analisando a raiz enésima dos termos gerais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da raiz enésima de (1-1n)^-2 n conforme tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
(1-1n)^-2 n = (11 - 1n)^2n
Isso pode ser reescrito como:
(nn-1)^2n
Agora, vamos entender como esse termo se comporta conforme aumenta.

Passo 3

Sabemos que:
(1 + 1k)^k approx e quando k to infty
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
(nn-1)^n-1 = (1 + 1n-1)^n-1 approx e quando n to infty
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n](1-1n)^-2 n = limn to infty (nn-1)^2 = e^2
Como , o Teste da Raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty(1-1n)^-2 n diverge pelo Teste da Raiz.

Exercícios relacionados