Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=0^infty(1+13+cdots+13^n)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se o teste da raiz pode nos ajudar a concluir a convergência da série
sumn=0^infty(1+13+cdots+13^n)^n
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e usando o teste da raiz para verificar se a série converge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos dentro da série. O termo geral da série é
(1+13+cdots+13^n)^n
Isso dentro do parêntese é uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica é dada por:
Sn = a1(1 - r^n+1)1 - r,
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

No nosso caso, Sn = 1 (1 - (13)^n+1)1 - 13 = 1 - (13)^n+123 = 32 (1 - (13)^n+1) e Sn approx 32 . Então, a soma fica:
À medida que cresce, o termo se aproxima de zero. Então, para grandes :

Passo 4

Agora, substituímos (32)^n na série original:
sumn=0^infty (32)^n
Então, a série que estamos analisando é:

Passo 5

Vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se raiz[n](32)^n = 32 , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Então:

Passo 6

Calculamos o limite:
L = 32 > 1
Segundo o teste da raiz, como , a série diverge.

Resposta

Usando o teste da raiz, concluímos que a série diverge, ou seja, não converge.

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