Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se o teste da raiz pode nos ajudar a concluir a convergência da série
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e usando o teste da raiz para verificar se a série converge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos dentro da série. O termo geral da série é
Isso dentro do parêntese é uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica é dada por:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Então, a soma fica:
À medida que
cresce, o termo
se aproxima de zero. Então, para grandes
:
Passo 4
Agora, substituímos
na série original:
Então, a série que estamos analisando é:
Passo 5
Vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que:
Se
, a série converge; se
, a série diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Então:
Passo 6
Calculamos o limite:
Segundo o teste da raiz, como
, a série diverge.
Resposta
Usando o teste da raiz, concluímos que a série diverge, ou seja, não converge.