Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. * Veremos, mais no final do curso, que os itens
são as transformadas de Laplace dao finçõe
, respectivamente.
Passo 1
Vamos analisar a integral imprópria
. O objetivo é determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e transformadas de Laplace, que nos ajudam a entender o comportamento de funções em intervalos infinitos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma integral imprópria pode convergir se o limite da função integrada tende a um valor finito quando a variável de integração se aproxima do infinito. No nosso caso, estamos integrando de 0 até
.
Passo 3
A função a ser integrada é
. Aqui,
é uma função exponencial decrescente se
, o que ajuda a “dominar” o comportamento oscilatório de
.
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos a fórmula da transformada de Laplace para
, que é conhecida e dada por:
Essa fórmula nos mostra que a integral resulta em uma expressão finita quando
.
Passo 5
Como a transformada de Laplace da função
é
, e essa expressão é finita para
, concluímos que a integral converge nesse caso.
Resposta
A integral
é convergente para
e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Ache cada limite, se existe: (b)
Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: