Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. * Veremos, mais no final do curso, que os itens (g),(h),(i),(j) são as transformadas de Laplace dao finçõe 1, t^2, sin (a t), cos (a t), respectivamente. integral0^+infty e^-s t cos (a t) d t

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria . O objetivo é determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e transformadas de Laplace, que nos ajudam a entender o comportamento de funções em intervalos infinitos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma integral imprópria pode convergir se o limite da função integrada tende a um valor finito quando a variável de integração se aproxima do infinito. No nosso caso, estamos integrando de 0 até .

Passo 3

A função a ser integrada é . Aqui, é uma função exponencial decrescente se , o que ajuda a “dominar” o comportamento oscilatório de .

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos a fórmula da transformada de Laplace para Lcos(a t) = integral0^+infty e^-s t cos(a t) , dt = ss^2 + a^2 , que é conhecida e dada por:
Essa fórmula nos mostra que a integral resulta em uma expressão finita quando .

Passo 5

Como a transformada de Laplace da função é , e essa expressão é finita para , concluímos que a integral converge nesse caso.

Resposta

A integral é convergente para e seu valor é .

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