Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
(b) Defina div
.
(b) Defina div
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
definido no espaço tridimensional
. A questão aqui é definir o que é a “divergência” desse campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, mais especificamente sobre derivadas parciais e como elas se aplicam aos campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço
, a gente tem um vetor
atribuído. Esses componentes
,
e
podem depender das coordenadas
,
e
.
Passo 3
Agora, a divergência de um campo vetorial é uma medida de quão “espalhado” ou “fonte” esse campo é em cada ponto. Em termos mais técnicos, a divergência indica a taxa na qual o fluxo do campo vetorial está saindo de um ponto.
Passo 4
Para calcular a divergência, a gente vai usar derivadas parciais. Cada componente do campo vetorial é derivada em relação à sua própria coordenada. A fórmula fica assim:
Passo 5
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
-
: como o componente muda conforme varia. -
: como o componente muda conforme varia. -
: como o componente muda conforme varia.
Passo 6
Somando essas três derivadas parciais, a gente obtém a divergência total do campo vetorial
no ponto considerado. Se a divergência for positiva, indica que há uma “fonte” naquele ponto; se for negativa, é uma “sumidouro”; e se for zero, o campo é “incompressível” naquele ponto.
Resposta
A divergência de um campo vetorial
em
é definida por: