Suponha que F seja um campo vetorial sobre R^3. Defina
(b) Defina div F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F definido no espaço tridimensional R^3. A questão aqui é definir o que é a “divergência” desse campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, mais especificamente sobre derivadas parciais e como elas se aplicam aos campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço R^3, a gente tem um vetor atribuído. Esses componentes , e podem depender das coordenadas x, y e z.

Passo 3

Agora, a divergência de um campo vetorial é uma medida de quão “espalhado” ou “fonte” esse campo é em cada ponto. Em termos mais técnicos, a divergência indica a taxa na qual o fluxo do campo vetorial está saindo de um ponto.

Passo 4

Para calcular a divergência, a gente vai usar derivadas parciais. Cada componente do campo vetorial é derivada em relação à sua própria coordenada. A fórmula fica assim:

Passo 5

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • : como o componente muda conforme x varia.
  • : como o componente muda conforme y varia.
  • : como o componente muda conforme z varia.

Passo 6

Somando essas três derivadas parciais, a gente obtém a divergência total do campo vetorial F no ponto considerado. Se a divergência for positiva, indica que há uma “fonte” naquele ponto; se for negativa, é uma “sumidouro”; e se for zero, o campo é “incompressível” naquele ponto.

Resposta

A divergência de um campo vetorial em R^3 é definida por:

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