Responda os itens a seguir justificando sua resposta: © A proposição existe x em R, x^2 + 2x + 1 < 0 é verdadeira?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se existe algum número real que, quando colocado na expressão , o resultado seja menor que zero. Esse tipo de problema envolve inequações quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como resolver uma desigualdade envolvendo uma equação do segundo grau e analisar o comportamento do gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Isso é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para entender onde essa função é menor que zero, precisamos descobrir seus zeros ou raízes, ou seja, os valores de que tornam . Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Substituindo os valores:
Então, temos apenas uma raiz real: .

Passo 5

Como a função tem apenas uma raiz real, isso significa que o gráfico da parábola toca o eixo exatamente no ponto e não cruza o eixo. Além disso, como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola está voltada para cima.

Passo 6

Agora, queremos saber onde . Observando o gráfico, como a parábola está voltada para cima e toca o eixo apenas em , não há intervalos onde a função é menor que zero. O valor mínimo da função é zero, que ocorre exatamente em .

Resposta

Não, a proposição é falsa. Não existe nenhum número real que satisfaça .

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