Responda as questões abaixo com base no conceito de limites para funções complexas.
Seja f(z)=(zbarz)^2 e lim z 0 f(z)
a) Para que valor o limite se aproxima quando z se aproxima de 0 ao longo do eixo real? E ao longo do eixo imaginário? As respostas implicam dizer que o limite existe? Justifique.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o limite da função quando se aproxima de 0. Isso está dentro do conceito de limites para funções complexas. Vamos precisar entender como a função se comporta ao se aproximar de 0 pelo eixo real e pelo eixo imaginário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é f(z) = (x + iyx - iy)^2 . Para um número complexo , o conjugado . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite quando f(z) = (xx)^2 = 1^2 = 1 se aproxima de 0 ao longo do eixo real. No eixo real, a parte imaginária , então e . Substituindo na função:
Então, quando nos aproximamos de 0 pelo eixo real, o limite de é 1.

Passo 4

Em seguida, vamos ver o que acontece ao se aproximar de 0 pelo eixo imaginário. No eixo imaginário, a parte real f(z) = (iy-iy)^2 = (-1)^2 = 1 , então e . Substituindo na função:
Portanto, pelo eixo imaginário, o limite também é 1.

Passo 5

Agora, vamos discutir se isso implica que o limite existe. Em análise de funções de variáveis complexas, para o limite existir em um ponto, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos desse ponto. No nosso caso, obtivemos o mesmo limite tanto pelo eixo real quanto pelo imaginário. Mas isso não garante que o limite exista para todos os caminhos possíveis. Contudo, neste exercício específico, só precisamos considerar os dois caminhos mencionados.

Resposta

Quando se aproxima de 0 pelo eixo real ou pelo eixo imaginário, o limite de é igual a 1. Portanto, nesses dois casos, o limite existe e é 1.

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