Responda as questões abaixo com base no conceito de limites para funções complexas.
Seja
a) Para que valor o limite se aproxima quando
se aproxima de 0 ao longo do eixo real? E ao longo do eixo imaginário? As respostas implicam dizer que o limite existe? Justifique.
Seja
a) Para que valor o limite se aproxima quando
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o limite da função
quando
se aproxima de 0. Isso está dentro do conceito de limites para funções complexas. Vamos precisar entender como a função se comporta ao se aproximar de 0 pelo eixo real e pelo eixo imaginário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Para um número complexo
, o conjugado
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite quando
se aproxima de 0 ao longo do eixo real. No eixo real, a parte imaginária
, então
e
. Substituindo na função:
Então, quando nos aproximamos de 0 pelo eixo real, o limite de
é 1.
Passo 4
Em seguida, vamos ver o que acontece ao se aproximar de 0 pelo eixo imaginário. No eixo imaginário, a parte real
, então
e
. Substituindo na função:
Portanto, pelo eixo imaginário, o limite também é 1.
Passo 5
Agora, vamos discutir se isso implica que o limite existe. Em análise de funções de variáveis complexas, para o limite existir em um ponto, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos desse ponto. No nosso caso, obtivemos o mesmo limite
tanto pelo eixo real quanto pelo imaginário. Mas isso não garante que o limite exista para todos os caminhos possíveis. Contudo, neste exercício específico, só precisamos considerar os dois caminhos mencionados.
Resposta
Quando
se aproxima de 0 pelo eixo real ou pelo eixo imaginário, o limite de
é igual a 1. Portanto, nesses dois casos, o limite existe e é 1.
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a)
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b)
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b)
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b)
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