Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
b) lim z 2+i(z^2-(2+i)^2z-(2+i))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especialmente no contexto de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e álgebra de números complexos, como a fatoração de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
z^2 - (2 + i)^2z - (2 + i)
Perceba que temos uma diferença de quadrados no numerador. Sabemos que:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso aqui, onde z^2 - (2 + i)^2 = (z - (2 + i))(z + (2 + i)) e , podemos fatorar o numerador:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
(z - (2 + i))(z + (2 + i))z - (2 + i)
Vemos que o termo z + (2 + i) está no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que está garantido pelo limite):

Passo 4

Com a expressão simplificada, o limite agora fica:
limz 2 + i (z + (2 + i))
Para calcular esse limite, basta substituir (2 + i) + (2 + i) = 4 + 2i por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados