Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
b)
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Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisamos usar o conceito de derivada para ver se essa função é derivável em algum ponto. Se for, vamos encontrar a regra de derivação dessa função e calcular o valor da derivada em um ponto específico. Vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. Ou seja, ela nos mostra como a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do poder. A regra do poder afirma que se temos
, então a derivada
.
Passo 4
No nosso caso, podemos reescrever
como
. Agora, aplicando a regra do poder:
Passo 5
Então, a função
é derivável em todos os pontos onde
, já que se
, a função não está definida.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da derivada em um ponto específico. Vamos escolher
para facilitar os cálculos.
Resposta
A função
é derivável em todos os pontos
diferentes de zero, e a sua regra de derivação é
. No ponto
, a derivada vale
.