Responda as questões abaixo com base no conceito de limites para funções complexas.
Seja
b) Para que valor o limite se aproxima quando
se aproxima de 0 ao longo da reta
? que você pode dizer a respeito do
Seja
b) Para que valor o limite se aproxima quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o limite da função
quando
se aproxima de 0, especialmente ao longo da reta
. Estamos tratando de limites em funções de variável complexa, então vamos precisar lembrar como funcionam os números complexos e seus conjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
e
. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. O conjugado de
, denotado por
, é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo
e
:
Para simplificar essa fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Expandindo o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, elevamos essa expressão ao quadrado para obter
:
Isso fica um pouco complicado, mas vamos analisar o comportamento quando
se aproxima de 0, ou seja,
e
vão para 0.
Passo 5
Vamos considerar a aproximação ao longo da reta
. Isso significa que
, então podemos substituir
por
na expressão de
:
Então, ao se aproximar de 0 pela reta
, o limite de
é igual a -1.
Passo 6
Agora, vamos pensar no limite geral
. Se esse limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho que
toma para se aproximar de 0. Mas já vimos que ao longo da reta
o limite é -1. Vamos verificar outro caminho, por exemplo, ao longo do eixo real onde
:
Então, ao se aproximar de 0 ao longo do eixo real, o limite de
é 1.
Resposta
Quando
se aproxima de 0 pela reta
, o limite de
é
. Além disso, como o limite depende do caminho seguido para
se aproximar de 0 (por exemplo, 1 ao longo do eixo real e -1 ao longo de
), o limite geral
não existe.
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b)
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b)
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a)
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c)
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