Responda as questões abaixo com base no conceito de limites para funções complexas.
Seja f(z)=(zbarz)^2 e lim z 0 f(z)
b) Para que valor o limite se aproxima quando z se aproxima de 0 ao longo da reta y=x ? que você pode dizer a respeito do lim z 0 f(z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o limite da função quando se aproxima de 0, especialmente ao longo da reta . Estamos tratando de limites em funções de variável complexa, então vamos precisar lembrar como funcionam os números complexos e seus conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é e . Um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O conjugado de , denotado por , é .

Passo 3

Agora, vamos calcular zz = x + iyx - iy . Substituindo (x + iy)(x + iy)(x - iy)(x + iy) = (x + iy)^2x^2 + y^2 e (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 :
zz = x^2 - y^2 + 2ixyx^2 + y^2
Para simplificar essa fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Expandindo o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, elevamos essa expressão ao quadrado para obter f(z) = (zz)^2 = (x^2 - y^2 + 2ixyx^2 + y^2)^2 :
Isso fica um pouco complicado, mas vamos analisar o comportamento quando se aproxima de 0, ou seja, e vão para 0.

Passo 5

Vamos considerar a aproximação ao longo da reta f(z) = (x^2 - x^2 + 2ix cdot xx^2 + x^2)^2 = (0 + 2ix^22x^2)^2 = (2ix^22x^2)^2 = (i)^2 = -1 . Isso significa que , então podemos substituir por na expressão de :
Então, ao se aproximar de 0 pela reta , o limite de é igual a -1.

Passo 6

Agora, vamos pensar no limite geral f(z) = (x + i0x - i0)^2 = (xx)^2 = 1^2 = 1 . Se esse limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho que toma para se aproximar de 0. Mas já vimos que ao longo da reta o limite é -1. Vamos verificar outro caminho, por exemplo, ao longo do eixo real onde :
Então, ao se aproximar de 0 ao longo do eixo real, o limite de é 1.

Resposta

Quando se aproxima de 0 pela reta , o limite de é . Além disso, como o limite depende do caminho seguido para se aproximar de 0 (por exemplo, 1 ao longo do eixo real e -1 ao longo de ), o limite geral não existe.

Exercícios relacionados