Responda as questões abaixo com base no conceito de limites para funções complexas.
Seja
b) Para que valor o limite se aproxima quando se aproxima de 0 ao longo da reta ? que você pode dizer a respeito do

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o limite da função quando se aproxima de 0, especialmente ao longo da reta . Estamos tratando de limites em funções de variável complexa, então vamos precisar lembrar como funcionam os números complexos e seus conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é e . Um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O conjugado de , denotado por , é .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo e :
Para simplificar essa fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Expandindo o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, elevamos essa expressão ao quadrado para obter :
Isso fica um pouco complicado, mas vamos analisar o comportamento quando se aproxima de 0, ou seja, e vão para 0.

Passo 5

Vamos considerar a aproximação ao longo da reta . Isso significa que , então podemos substituir por na expressão de :
Então, ao se aproximar de 0 pela reta , o limite de é igual a -1.

Passo 6

Agora, vamos pensar no limite geral . Se esse limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho que toma para se aproximar de 0. Mas já vimos que ao longo da reta o limite é -1. Vamos verificar outro caminho, por exemplo, ao longo do eixo real onde :
Então, ao se aproximar de 0 ao longo do eixo real, o limite de é 1.

Resposta

Quando se aproxima de 0 pela reta , o limite de é . Além disso, como o limite depende do caminho seguido para se aproximar de 0 (por exemplo, 1 ao longo do eixo real e -1 ao longo de ), o limite geral não existe.

Exercícios relacionados

Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
b)
Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
b)
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
a)
Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
c)