Responda às questões abaixo em folha separada, escaneie a solução e envie no link da tarefa do Moodle até Sábado dia 16 de Novembro de 2024.
Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa
presa a uma mola de constante elástica
. Despreze qualquer tipo de atrito.
Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular
?
i.
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ii.
.
Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa
Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular
i.
ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola, onde uma massa $ m $ está presa a uma mola com constante elástica $ k $, e sem atrito. Precisamos mostrar que as funções dadas são soluções da equação diferencial de movimento e descobrir o valor da frequência angular $ \omega $. Para isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem atrito. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
No caso da mola, a força restauradora é dada por Hooke:
Então, temos:
Que podemos reescrever como:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a primeira solução dada, $ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) $, satisfaz essa equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ x(t) $.
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Substituindo $ x(t) $ e $ \frac{d2x}{dt2} $ na equação diferencial:
Fatorando $ A \cos(\omega t + \varphi) $:
Para que isso seja verdadeiro para todo $ t $, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:
Passo 5
Daí, temos que:
Passo 6
Vamos fazer a mesma coisa para a segunda solução dada, $ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) $. Calculando a segunda derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando $ A \sin(\omega t + \varphi) $:
Novamente, para ser válido para todo $ t $, temos:
Resposta
A frequência angular $ \omega $ é igual a $ \sqrt{\frac{k}{m}} $.