Responda às questões abaixo em folha separada, escaneie a solução e envie no link da tarefa do Moodle até Sábado dia 16 de Novembro de 2024.
Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa m presa a uma mola de constante elástica k. Despreze qualquer tipo de atrito.
Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular omega ?
i. x(t)=A cos (omega t+varphi);
ii. x(t)=A sen(omega t+varphi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola, onde uma massa $ m $ está presa a uma mola com constante elástica $ k $, e sem atrito. Precisamos mostrar que as funções dadas são soluções da equação diferencial de movimento e descobrir o valor da frequência angular $ \omega $. Para isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem atrito. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
F = m cdot a
No caso da mola, a força restauradora é dada por Hooke:
F = -k cdot x
Então, temos:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x
Que podemos reescrever como:
d^2xdt^2 + km x = 0

Passo 3

Agora, vamos verificar se a primeira solução dada, $ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) $, satisfaz essa equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ x(t) $.
Primeiro, a primeira derivada:
x(t) = A cos(omega t + varphi)
E a segunda derivada:
x(t)

Passo 4

Substituindo $ x(t) $ e $ \frac{d2x}{dt2} $ na equação diferencial:
x(t)
Fatorando $ A \cos(\omega t + \varphi) $:
d^2xdt^2
Para que isso seja verdadeiro para todo $ t $, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:
- A omega^2 cos(omega t + varphi) + km A cos(omega t + varphi) = 0

Passo 5

Daí, temos que:
omega = raizkm

Passo 6

Vamos fazer a mesma coisa para a segunda solução dada, $ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) $. Calculando a segunda derivada:
Primeira derivada:
x(t) = A sin(omega t + varphi)
Segunda derivada:
dxdt = A omega cos(omega t + varphi)

Passo 7

Substituindo na equação diferencial:
- A omega^2 sin(omega t + varphi) + km A sin(omega t + varphi) = 0
Fatorando $ A \sin(\omega t + \varphi) $:
A sin(omega t + varphi)
Novamente, para ser válido para todo $ t $, temos:
A sin(omega t + varphi) ( -omega^2 + km ) = 0

Resposta

A frequência angular $ \omega $ é igual a $ \sqrt{\frac{k}{m}} $.

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