Responda às questões abaixo em folha separada, escaneie a solução e envie no link da tarefa do Moodle até Sábado dia 16 de Novembro de 2024.
Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa m presa a uma mola de constante elástica k. Despreze qualquer tipo de atrito.
Em uma situação experimental real, o movimento do sistema massa-mola depende das chamdas condições iniciais de movimento: a posição inicial x0 da qual o objeto é solto e a velocidade inicial v0 que ele inicia o movimento. Mostre que A e varphi dependem de x0 e v0 e determine qual é essa dependência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola, que é quando temos uma massa $ m $ presa a uma mola com uma constante elástica $ k $. A ideia aqui é entender como o movimento desse sistema depende das condições iniciais: a posição inicial $ x_0 $ e a velocidade inicial $ v_0 $. Precisamos mostrar que a amplitude $ A $ e a fase $ \varphi $ do movimento dependem de $ x_0 $ e $ v_0 $ e determinar exatamente essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o movimento de um sistema massa-mola sem atrito é descrito pela equação diferencial da harmônica simples:
m d^2xdt^2 + kx = 0
Essa equação nos diz como a posição $ x $ varia com o tempo $ t $.

Passo 3

A solução geral dessa equação é uma combinação de funções senoidal e cossenoidal:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude e a fase do movimento, e $ \omega $ é a frequência angular, dada por:
A

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais. Quando $ t = 0 $, a posição é $ x_0 $:
t = 0
Então, temos que $ A = x_0 $.

Passo 5

Também precisamos considerar a velocidade inicial $ v_0 $. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v0
Aplicando a condição inicial $ v(0) = v_0 $:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Então, $ B = \frac{v_0}{\omega} $.

Passo 6

Agora, podemos reescrever a solução geral substituindo $ A $ e $ B $:
A

Passo 7

Para expressar isso na forma padrão $ x(t) = A \cos(\omega t - \varphi) $, usamos identidades trigonométricas. A amplitude $ A $ e a fase $ \varphi $ podem ser encontradas usando:
x(t) = A cos(omega t - varphi)
A

Resposta

A amplitude $ A $ e a fase $ \varphi $ dependem das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $ da seguinte forma:
A
varphi
Onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $.

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