Responda às questões abaixo em folha separada, escaneie a solução e envie no link da tarefa do Moodle até Sábado dia 16 de Novembro de 2024.
Um tipo de força F que depende da posição é força gravitacional conforme mostra a equação abaixo e também descrito na seção 2.11 da apostila.
F=-G M mr^2, onde G é a constante gravitacional e r é a distância entre as massas M e m.
Para este tipo de força, vamos resolver o seguinte o problema: um foguete de massa m é lançado verticalmente da superfície da Terra com uma certa velocidade, qual deve ser esta velocidade para que o foguete saia da atração da gravitacional da Terra?
Para responder esta questão siga os passos abaixo:
a) Determine a Energia Potencial associada à esta força gravitacional.
b) Determine a Energia total para uma partícula de massa m que está na superfície da Terra (suponha massa da Terra M e raio rT ) e com velocidade inicial v0.
c) Determine a Energia total para esta mesma partícula a uma altura h e velocidade nula.
d) Agora utilize a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial v0 em função da altura h.
e) Faça agora o caso quando a altura h seja muito maior que o raio da terra ( h > infinito). Neste caso estaremos encontrando o valor da velocidade v0 para que o foguete saia da atração gravitacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a força gravitacional e como ela afeta o lançamento de um foguete. A gente vai precisar entender conceitos de energia potencial gravitacional e energia total, além de usar a conservação de energia para achar a velocidade inicial necessária para o foguete escapar da Terra. Vamos por partes, seguindo as questões de a) a e).

Passo 2

a) Determinar a Energia Potencial associada à esta força gravitacional.
A energia potencial gravitacional U = -G M mr é a energia que um objeto tem devido à sua posição em um campo gravitacional. Para esse caso, a energia potencial entre duas massas (Terra) e (foguete) separadas por uma distância é dada pela fórmula:
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da Terra, é a massa do foguete, e é a distância entre os centros das duas massas. O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.

Passo 3

b) Determinar a Energia total para uma partícula de massa Etotal = K + U que está na superfície da Terra (suponha massa da Terra K = 12 m v0^2 e raio U = -G M mrT ) e com velocidade inicial Etotal = 12 m v0^2 - G M mrT .
A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial :
A energia cinética é:
A energia potencial na superfície da Terra (onde ) é:
Então, a energia total na superfície é:

Passo 4

c) Determinar a Energia total para esta mesma partícula a uma altura U = -G M mrT + h e velocidade nula.
Quando o foguete atinge a altura Etotal = 0 - G M mrT + h = -G M mrT + h , sua velocidade é zero, então a energia cinética é zero. A distância do centro da Terra passa a ser . A energia potencial nessa posição é:
Portanto, a energia total a essa altura é:

Passo 5

d) Utilizar a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial 12 m v0^2 - G M mrT = -G M mrT + h em função da altura 12 m v0^2 = G M mrT - G M mrT + h .
A conservação de energia diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
v0^2 = 2 G M ( 1rT - 1rT + h )
Vamos isolar v0 = raiz2 G M ( 1rT - 1rT + h ) :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando a raiz quadrada:

Passo 6

e) Fazer o caso quando a altura v0 = raiz2 G M ( 1rT - 0 ) = raiz2 G MrT seja muito maior que o raio da Terra ( tende ao infinito). Neste caso, estaremos encontrando o valor da velocidade para que o foguete saia da atração gravitacional.
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito, e tende a zero. Assim, a expressão para fica:
Essa velocidade é conhecida como velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para um objeto escapar da atração gravitacional da Terra sem propulsão adicional.

Resposta

A velocidade inicial necessária para que o foguete escape da atração gravitacional da Terra é:
v0 = raiz2 G MrT

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