Responda às questões abaixo em folha separada, escaneie a solução e envie no link da tarefa do Moodle até Sábado dia 16 de Novembro de 2024.
Um tipo de força
que depende da posição é força gravitacional conforme mostra a equação abaixo e também descrito na seção 2.11 da apostila.
, onde G é a constante gravitacional e r é a distância entre as massas M e m.
Para este tipo de força, vamos resolver o seguinte o problema: um foguete de massa
é lançado verticalmente da superfície da Terra com uma certa velocidade, qual deve ser esta velocidade para que o foguete saia da atração da gravitacional da Terra?
Para responder esta questão siga os passos abaixo:
a) Determine a Energia Potencial associada à esta força gravitacional.
b) Determine a Energia total para uma partícula de massa m que está na superfície da Terra (suponha massa da Terra
e raio
) e com velocidade inicial
.
c) Determine a Energia total para esta mesma partícula a uma altura h e velocidade nula.
d) Agora utilize a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial
em função da altura
.
e) Faça agora o caso quando a altura
seja muito maior que o raio da terra (
infinito). Neste caso estaremos encontrando o valor da velocidade
para que o foguete saia da atração gravitacional.
Um tipo de força
Para este tipo de força, vamos resolver o seguinte o problema: um foguete de massa
Para responder esta questão siga os passos abaixo:
a) Determine a Energia Potencial associada à esta força gravitacional.
b) Determine a Energia total para uma partícula de massa m que está na superfície da Terra (suponha massa da Terra
c) Determine a Energia total para esta mesma partícula a uma altura h e velocidade nula.
d) Agora utilize a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial
e) Faça agora o caso quando a altura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a força gravitacional e como ela afeta o lançamento de um foguete. A gente vai precisar entender conceitos de energia potencial gravitacional e energia total, além de usar a conservação de energia para achar a velocidade inicial necessária para o foguete escapar da Terra. Vamos por partes, seguindo as questões de a) a e).
Passo 2
a) Determinar a Energia Potencial associada à esta força gravitacional.
A energia potencial gravitacional
é a energia que um objeto tem devido à sua posição em um campo gravitacional. Para esse caso, a energia potencial entre duas massas
(Terra) e
(foguete) separadas por uma distância
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra,
é a massa do foguete, e
é a distância entre os centros das duas massas. O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.
Passo 3
b) Determinar a Energia total para uma partícula de massa
que está na superfície da Terra (suponha massa da Terra
e raio
) e com velocidade inicial
.
A energia total
é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética é:
A energia potencial na superfície da Terra (onde
) é:
Então, a energia total na superfície é:
Passo 4
c) Determinar a Energia total para esta mesma partícula a uma altura
e velocidade nula.
Quando o foguete atinge a altura
, sua velocidade é zero, então a energia cinética
é zero. A distância do centro da Terra passa a ser
. A energia potencial nessa posição é:
Portanto, a energia total a essa altura é:
Passo 5
d) Utilizar a conservação de energia para encontrar a velocidade inicial
em função da altura
.
A conservação de energia diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
e) Fazer o caso quando a altura
seja muito maior que o raio da Terra (
tende ao infinito). Neste caso, estaremos encontrando o valor da velocidade
para que o foguete saia da atração gravitacional.
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, e
tende a zero. Assim, a expressão para
fica:
Essa velocidade
é conhecida como velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para um objeto escapar da atração gravitacional da Terra sem propulsão adicional.
Resposta
A velocidade inicial necessária para que o foguete escape da atração gravitacional da Terra é: