Sejam um ponto no espaço e a reta . Para cada par, não nulo, de números reais , considere o plano . Mostre que se, e somente se, , para todo par não nulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve geometria analítica, especificamente retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos mostrar que um ponto está na reta se e somente se ele está em todos os planos definidos para cada par não nulo . Para isso, vamos usar as equações que definem a reta e os planos, e verificar as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta é definida pelo sistema de equações:
Isso significa que qualquer ponto na reta deve satisfazer ambas as equações simultaneamente. Se está em , então substituindo , e nessas equações, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano definido por:
Como queremos que esteja em para todo par não nulo , substituímos , e na equação do plano:
Simplificando, temos:
Vamos reorganizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo e , os coeficientes de e dos dois lados devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:
Passo 4
Observamos que esse sistema é exatamente o mesmo que define a reta . Portanto, se satisfaz as equações que definem , então substituindo em qualquer plano teremos a igualdade válida para todo não nulo, e vice-versa.
Resposta
Portanto, demonstramos que está na reta se e somente se está em todos os planos para todo par não nulo .