Sejam
um ponto no espaço e
a reta
. Para cada par, não nulo, de números reais
, considere o plano
. Mostre que
se, e somente se,
, para todo par não nulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve geometria analítica, especificamente retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos mostrar que um ponto
está na reta
se e somente se ele está em todos os planos
definidos para cada par não nulo
. Para isso, vamos usar as equações que definem a reta e os planos, e verificar as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta
é definida pelo sistema de equações:
Isso significa que qualquer ponto
na reta
deve satisfazer ambas as equações simultaneamente. Se
está em
, então substituindo
,
e
nessas equações, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano
definido por:
Como queremos que
esteja em
para todo par não nulo
, substituímos
,
e
na equação do plano:
Simplificando, temos:
Vamos reorganizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
e
, os coeficientes de
e
dos dois lados devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:
Passo 4
Observamos que esse sistema é exatamente o mesmo que define a reta
. Portanto, se
satisfaz as equações que definem
, então substituindo
em qualquer plano
teremos a igualdade válida para todo
não nulo, e vice-versa.
Resposta
Portanto, demonstramos que
está na reta
se e somente se
está em todos os planos
para todo par não nulo
.