Sejam P=(a, b, c) um ponto no espaço e r a reta lx+y+2 z=4 x-2 y+z=5. Para cada par, não nulo, de números reais (m, n), considere o plano pi:(m+n) x+(m-2 n) y+(2 m+n) z=4 m+5 n. Mostre que P in r se, e somente se, P in pi, para todo par não nulo (m, n).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve geometria analítica, especificamente retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos mostrar que um ponto está na reta se e somente se ele está em todos os planos definidos para cada par não nulo . Para isso, vamos usar as equações que definem a reta e os planos, e verificar as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta x + y + 2z = 4 x - 2y + z = 5 é definida pelo sistema de equações:
a + b + 2c = 4 a - 2b + c = 5
Isso significa que qualquer ponto na reta deve satisfazer ambas as equações simultaneamente. Se está em , então substituindo , e nessas equações, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano (m + n)x + (m - 2n)y + (2m + n)z = 4m + 5n definido por:
(m + n)a + (m - 2n)b + (2m + n)c = 4m + 5n
Como queremos que a(m + n) + b(m - 2n) + c(2m + n) = 4m + 5n esteja em (a + b + 2c)m + (a - 2b + c)n = 4m + 5n para todo par não nulo a + b + 2c = 4 a - 2b + c = 5 , substituímos , e na equação do plano:
Simplificando, temos:
Vamos reorganizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo e , os coeficientes de e dos dois lados devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

Passo 4

Observamos que esse sistema é exatamente o mesmo que define a reta . Portanto, se satisfaz as equações que definem , então substituindo em qualquer plano teremos a igualdade válida para todo não nulo, e vice-versa.

Resposta

Portanto, demonstramos que está na reta se e somente se está em todos os planos para todo par não nulo .

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