Sejam um ponto no espaço e a reta . Para cada par, não nulo, de números reais , considere o plano . Mostre que se, e somente se, , para todo par não nulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve geometria analítica, especificamente retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos mostrar que um ponto está na reta se e somente se ele está em todos os planos definidos para cada par não nulo . Para isso, vamos usar as equações que definem a reta e os planos, e verificar as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta é definida pelo sistema de equações:
Isso significa que qualquer ponto na reta deve satisfazer ambas as equações simultaneamente. Se está em , então substituindo , e nessas equações, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano definido por:
Como queremos que esteja em para todo par não nulo , substituímos , e na equação do plano:
Simplificando, temos:
Vamos reorganizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo e , os coeficientes de e dos dois lados devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

Passo 4

Observamos que esse sistema é exatamente o mesmo que define a reta . Portanto, se satisfaz as equações que definem , então substituindo em qualquer plano teremos a igualdade válida para todo não nulo, e vice-versa.

Resposta

Portanto, demonstramos que está na reta se e somente se está em todos os planos para todo par não nulo .

Exercícios relacionados

Resolver as equações:
Responda aos seguintes itens:
Dados o plano e o ponto .
Encontre o ponto que é simétrico a em relação ao plano dado.
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (utilizando qualquer método):
Determine: As equações simétricas da reta que passa por e tem direção .