Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente vai analisar vários aspectos dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até construir o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender alguns conceitos básicos de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos só resolver .
A derivada de é:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, o ponto crítico ocorre em .
Passo 3
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada .
Sabemos que:
Se , a função está crescendo.
Se , a função está decrescendo.
Temos:
Vamos resolver a inequação:
Para :
Para :
Portanto:
A função cresce em .
A função decresce em .
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo.
Sabemos que:
Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um ponto de máximo.
Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um ponto de mínimo.
No nosso caso, a derivada muda de negativa para positiva quando passa de menor que para maior que . Isso significa que temos um ponto de mínimo em .
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é .
Passo 5
Vamos analisar a concavidade da função. Para isso, usamos a segunda derivada .
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Como é sempre positiva, a função é concava para cima em todo o domínio.
Passo 6
Como a concavidade nunca muda (sempre para cima), não há pontos de inflexão na função . Ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda, o que não acontece aqui.
Passo 7
Vamos verificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Como é um polinômio de segundo grau, ela não possui assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
Passo 8
Por fim, vamos construir o gráfico da função .
Sabemos que:
A parábola é “bent” para cima porque o coeficiente de é positivo.
O ponto de mínimo é .
A função decresce para e cresce para .
Não há assíntotas.
Com essas informações, podemos desenhar a parábola que tem seu vértice no ponto de mínimo e se estende para cima nos dois lados.
Resposta
Resumindo:
a) O ponto crítico é .
b) A função decresce para e cresce para .
c) Há um ponto de mínimo em .
d) A função é concava para cima em todo o domínio.
e) Não existem pontos de inflexão.
f) Não existem assíntotas.
g) O gráfico é uma parábola com vértice em e aberta para cima.