Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função para analisar esses aspectos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de uma função racional é dada por:
Para nossa função e , temos:
Então,
A derivada nunca é zero porque o numerador é 8. No entanto, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Resolvendo:
Então, é um ponto crítico onde a derivada não existe.

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada , percebemos que o denominador ao quadrado é sempre positivo, e o numerador é 8, também positivo. Portanto, para todo .
Isso significa que a função está crescendo em todos os intervalos onde está definida:

Passo 4

Vamos identificar os pontos máximos e mínimos. Como a derivada é sempre positiva (exceto no ponto onde não existe), não há mudanças no sinal da derivada. Isso indica que a função não possui pontos de máximo ou mínimo local, apenas continua crescendo.

Passo 5

Em seguida, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada .
A primeira derivada que temos é:
Vamos derivar novamente:
A segunda derivada é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Esses pontos ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Nossa segunda derivada nunca é zero, mas não existe quando o denominador é zero:
Então, é um ponto de inflexão.
Para verificar a mudança na concavidade, observamos os sinais de :
  • Para , , então (concava para cima).
  • Para , , então (concava para baixo).
Portanto, a concavidade muda em .

Passo 7

Vamos determinar as assíntotas da função.
  1. Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero. Já vimos que quando . Então, a assíntota vertical é a reta:
  1. Assíntota Horizontal: Para funções racionais, com grau do numerador igual ao do denominador, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, ambos os graus são 1.
Então, a assíntota horizontal é a reta:

Passo 8

Por último, vamos construir o gráfico da função usando todas as informações que obtivemos:
  • A função está sempre crescendo.
  • Não há máximos ou mínimos.
  • Há uma concavidade para cima quando e para baixo quando .
  • O ponto de inflexão é em .
  • Existem assíntotas em (vertical) e (horizontal).
Com isso, podemos esboçar o gráfico mostrando a assíntota vertical na reta , a assíntota horizontal na reta , a concavidade mudando no ponto , e a função crescendo em todo o domínio.

Resposta

a) O ponto crítico é .
b) A função cresce nos intervalos e .
c) Não há pontos máximos ou mínimos.
d) A função é côncava para cima em e côncava para baixo em .
e) O ponto de inflexão é .
f) As assíntotas são:
  • Vertical:
  • Horizontal:
g) O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , está sempre crescendo, é côncava para cima à esquerda de e côncava para baixo à direita, com um ponto de inflexão em .

Exercícios relacionados

Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.