Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função para analisar esses aspectos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de uma função racional
é dada por:
Para nossa função
e
, temos:
Então,
A derivada
nunca é zero porque o numerador é 8. No entanto, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Resolvendo:
Então,
é um ponto crítico onde a derivada não existe.
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada
, percebemos que o denominador ao quadrado é sempre positivo, e o numerador é 8, também positivo. Portanto,
para todo
.
Isso significa que a função está crescendo em todos os intervalos onde está definida:
Passo 4
Vamos identificar os pontos máximos e mínimos. Como a derivada
é sempre positiva (exceto no ponto onde não existe), não há mudanças no sinal da derivada. Isso indica que a função não possui pontos de máximo ou mínimo local, apenas continua crescendo.
Passo 5
Em seguida, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada
.
A primeira derivada que temos é:
Vamos derivar novamente:
A segunda derivada é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Esses pontos ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Nossa segunda derivada
nunca é zero, mas não existe quando o denominador é zero:
Então,
é um ponto de inflexão.
Para verificar a mudança na concavidade, observamos os sinais de
:
- Para
, , então (concava para cima). - Para
, , então (concava para baixo).
Portanto, a concavidade muda em
.
Passo 7
Vamos determinar as assíntotas da função.
- Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero. Já vimos que
quando . Então, a assíntota vertical é a reta:
- Assíntota Horizontal: Para funções racionais, com grau do numerador igual ao do denominador, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, ambos os graus são 1.
Então, a assíntota horizontal é a reta:
Passo 8
Por último, vamos construir o gráfico da função usando todas as informações que obtivemos:
- A função está sempre crescendo.
- Não há máximos ou mínimos.
- Há uma concavidade para cima quando
e para baixo quando . - O ponto de inflexão é em
. - Existem assíntotas em
(vertical) e (horizontal).
Com isso, podemos esboçar o gráfico mostrando a assíntota vertical na reta
, a assíntota horizontal na reta
, a concavidade mudando no ponto
, e a função crescendo em todo o domínio.
Resposta
a) O ponto crítico é
.
b) A função cresce nos intervalos
e
.
c) Não há pontos máximos ou mínimos.
d) A função é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
e) O ponto de inflexão é
.
f) As assíntotas são:
- Vertical:
- Horizontal:
g) O gráfico da função
apresenta uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, está sempre crescendo, é côncava para cima à esquerda de
e côncava para baixo à direita, com um ponto de inflexão em
.
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Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.